Приклад Данжуа

В теорії динамічних систем, приклад Данжуа — приклад $C^{1}$-дифеоморфізму кола з ірраціональним числом обертання, має канторову інваріантну множину  (і, відповідно, не спряжений до чистого повороту). М. Ерманом були побудовані приклади такого дифеоморфізму в класі гладкості $C^{1+\varepsilon }$ (тобто, $C^{1}$ з гельдеровою похідною з показником $\varepsilon$) для будь-якого $\varepsilon <1$. Ця гладкість не може далі збільшуватись: для дифеоморфізмів з ліпшицевою похідною (і навіть з похідною, логарифм якої має обмежену варіацію) має місце теорема Данжуа, яка стверджує, що такий дифеоморфізм з ірраціональним числом обертання пов'язаний із ірраціональний поворотом (на відповідне число обертання).

Конструкція

Процедура вклейки

Приклад гомеоморфізму

Найпростіше зобразити приклад гомеоморфізму кола, число обертання якого ірраціональне, але який, тим не менш, не мінімальний. А саме, розглянемо поворот $R$ на деякий ірраціональний кут $\alpha$, і виберемо довільну початкову точку $x_{0}$. Розглянемо її орбіту $x_{n}=R^{n}(x_{0})$ при всіх цілих $n$, як додатних, так і від'ємних). Зробимо наступну перебудову: в кожній точці $x_{n}$ разріжемо коло і вклеїмо інтервал $I_{n}$ деякої довжини $l_{n}>0$, так, щоб сума довжин вклеєних інтервалів сходилася:

$\sum _{n=-\infty }^{\infty }l_{n}<\infty .$

Тоді множина, яка утворилась після такої вклейки, як і раніше, буде колом, більш того, на ній буде природна міра Лебега (складається з міри Лебега на розрізаному старому колі і заходи Лебега на вклеєних інтервалах), тобто довжина — і, тим самим, гладка структура. Довільним чином продовживши відображення $R$ зі старого кола так, щоб воно переводило інтервал $I_{n}$ в інтервал $I_{n+1}$ — наприклад, вибравши в якості продовження афінне відображення $I_{n}$ в $I_{n+1}$, - ми отримуємо гомеоморфізм f нового кола з тим же числом обертання $\alpha$. Однак, у цього гомеоморфізму є канторова інваріантна множина $K$ (замикання множини точок старого кола), і тому вона не може бути спряженою з ірраціональним поворотом.

Вибравши послідовність довжин $l_{n}$ так, щоб послідовність відносин $l_{n}/l_{n+1}$ залишалася обмеженою при $n\to \pm \infty$, для продовження конструкції афінного перетворення можна домогтися ліпшицевості побудованого гомеоморфізму. Однак, щоб побудоване відображення було дифеоморфізмом, вибір продовження на відрізки $I_{n}$ слід зробити більш тонко.

Приклад в класі $C^{1}$

Приклад в класі $C^{1}$ будується так, щоб похідна побудованого дифеоморфізму $f$ на канторовій множині $K$ — замикання множини точок вихідного кола — дорівнювала б 1 (оскільки міра Лебега на цій множині зберігається побудованим дифеоморфізмом, це необхідна умова при такій конструкції). Тому, необхідно вибирати інтервали $I_{n}$ обмеження $\varphi _{n}=f|_{I_{n}}:I_{n}\to I_{n+1}$ так, щоб виконувалися наступні умови:

• (D1) Похідна $\varphi _{n}$ на кінцях інтервалу $I_{n}$ дорівнює 1.
• (D2) При $n\to \pm \infty$, похідні відображень $\varphi _{n}$ рівномірно прямують до 1.

Остання умова необхідна, так як з ростом $n$ інтервали $I_{n}$ накопичуються до канторової множини $K$. Більше того, неважко бачити, що ці умови і достатні для того, щоб побудоване відображення $f$ було б $C^{1}$-дифеоморфізмом.

В силу теореми Лагранжа на відрізку $I_{n}$ знайдеться точка, похідна якої дорівнює $l_{n+1}/l_{n}$. Тому друга умова вимагає, щоб для послідовності $l_{n}$ мало місце

$\lim _{n\to \pm \infty }l_{n}/l_{n+1}=1.\qquad (*)$

Як виявляється, це правило довжини для побудови $C^{1}$-дифеоморфізму є достатнім. А саме, відображення $\varphi _{n}$ вибираються наступним чином: на відрізках $I_{n}$ і $I_{n+1}$ вводяться координати, які ототожнюються з відрізками $[-l_{n}/2,l_{n}/2]$ і $[-l_{n+1}/2,l_{n+1}/2]$ відповідно, і відображення $\varphi _{n}$ вибирається як

$\varphi _{n}=F_{l_{n+1}}^{-1}\circ F_{l_{n}},\qquad (**)$

де

$F_{l}:[-l/2,l/2]\to \mathbb {R} ,\quad F_{l}(x)=l\tan {\frac {\pi x}{l}}.\qquad (***)$

Нескладна викладка показує тоді, що похідна $\varphi _{n}$ в будь-якій точці відхиляється від 1 на не більше, ніж $\mathrm {const} \cdot |1-{\frac {l_{n}}{l_{n+1}}}|$, тому умови (*) достатньо для виконання другої необхідної умови D2. З іншого боку, настільки ж нескладно бачити, що умова D1 також виконана (саме для цього тангенс у формулі (***) і множився на l: тоді швидкість відходу на нескінченність на кінцях це $1/x$і не залежить від довжини інтервалу l — тому композиційне приватне стосується тотожного відображення).

Вибір будь-якої послідовності $l_{n}$ зі збіжної сумою — наприклад, $l_{n}=1/(1+n^{2}),$ — і завершує побудову.

Приклад в класі $C^{1+\epsilon }$

Приклад в класі $C^{1+\varepsilon }$ представляється вже описаною вище конструкцією, але з більш тонкими умовами на довжини $l_{n}$. А саме, як легко бачити, побудований дифеоморфізм буде мати гельдерову похідну тоді і тільки тоді, коли похідні всіх обмежень $\varphi _{n}$ рівномірно по $n$ гельдерові. Дійсно, порівнюючи похідні в точках з різних відрізків, можна розбити цю різницю похідними в проміжних кінцевих точках (оскільки похідна в кінцевій точці завжди дорівнює 1), і скористатися нерівністю трикутника (в гіршому випадку, подвоївши константу Гельдера).

Оскільки на відрізку $I_{n}$ є точка з похідною $l_{n+1}/l_{n}$ (теорема Лагранжа) і є точка, похідна якої дорівнює 1 (це кінцева точка), константа Гельдера для показника Гельдера $\varepsilon$ не може бути меншою, ніж

$(|1-{\frac {l_{n+1}}{l_{n}}})/l_{n}^{\varepsilon }={\frac {|l_{n+1}-l_{n}|}{l_{n}^{1+\varepsilon }}}.\qquad (L)$

Тому вираз (L) повинен бути обмеженим при $n\to \pm \infty$. Як виявляється, це умова обмеженості і досить — явна викладка показує, що точна константа Гельдера обмеження $\varphi _{n}$ відрізняється від оцінки знизу (L) не більше, ніж в константу раз. Для завершення конструкції залишається представити двосторонньо-нескінченну послідовність $l_{n}$ з збіжної сумою, для якої вираз (L) залишається обмеженим. Прикладом такої послідовності є

$l_{n}={\frac {1}{m\ln ^{2}m}},\quad m=2+|n|,$

яка підходить одночасно для всіх $\varepsilon <1$.

Відображення такої послідовності і завершує конструкцію — побудований дифеоморфізм належить класу $C^{1+\varepsilon }$ з будь-яким $\varepsilon <1$.

Посилання

• Записки Дж. Милнора Introductory Dynamics Lectures, лекція "Теорема Данжуа" [Архівовано 5 лютого 2012 у Wayback Machine.] (див. §15B).

Література

• А.Б.Каток, Б.Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А.С.Городецкого. М.: МЦНМО, 2005. ISBN 5-94057-063-1
• M. Herman, Sur la conjugaison différentiable des difféomorphismes du cercle à des rotations. Publications Mathématiques de l IHÉS, 49 (1979), p. 5-233.