Принцип Мопертюї

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Принцип Моперт'юї — в класичній механіці інтегральне рівняння, що визначає шлях яким рухається фізична система, без уточнення параметризації часу. Це є частковий випадок узагальненого принципу найменшої дії. Точніше — це є узагальнення рівняння руху для фізичної системи у вигляді інтегрального, а не диференціального рівняння, що використовує варіаційне числення. Принцип названий на честь французького фізика, астронома і геодезиста П'єра Луї Мопертюї.

Формулювання принципу[ред. | ред. код]

У випадку, коли функція Гамільтона явно не залежить від часу при виконанні закону збереження енергії, для знаходження енергії використовують функцію Лагранжа:

,

де є узагальнена координата a є узагальнений імпульс.

Через функцію Лагранжа можна записати функціонал дії у вигляді:

де означає редуковану (скорочену) дію.

Варіація функціоналу дії дає:

Оскільки варіація дії при постійній енергії приводить до:

тому варіація редукованої дії буде:

,

де є крива в фазовому просторі, що сполучає початкову та кінцеву точки руху системи. Оскільки узагальнена координата в загальному випадку є функція залежна від конкретиного шляху , тобто , тому узагальнений імпульс можна переписати як:

Тоді функція Гамільтона може бути подана у вигляді:

Оскільки швидкість переміщення по шляху є повна похідна, тому можливе розділення диференціалів і варіаційний принцип може бути записаний у вигляді:

Таким чином, траєкторія руху системи залежить від повної енергії . Враховуючи загальний вираз для функції Лагранжа , тоді підінтегральна функція приймає вигляд:

де i залежні від .

Доцільно привести більш наглядний математичний вираз для Принципу Моперт'юї у випадку однієї матеріальної частки:

оскільки кінетична енергія рівна постійній повній енергії мінус потенціальній енергії .

Порівняння з принципом Гамільтона[ред. | ред. код]

Принцип Мопертюї є частковий випадок загального принципу найменшої дії Гамільтона. На відміну від принципу Гамільтона тут використовується редукована дія і тому інтегрування здійснюється не по часу, а по узагальнених координатах. Наприклад, принцип Гамільтона визначає траєкторію , як функцію часу, в той час як принцип Моперт'юї визначає тільки форму траєкторії в узагальнених координатах.

Принцип Мопертюї вимагає щоб два кінцеві стани q1 та q2 були задані при одній і тій же енергії вздовж усієї траєкторії.

Навпаки, принцип Гамільтона не вимагає збереження енергії, проте вимагає щоб кінцеві точки часу t1 та t2 були специфіковані наряду з кінцевими просторовими точками q1 та q2.

Дивись також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Konig JS. "De universali principio aequilibrii et motus", Nova Acta Eruditorum, 1751, 125-135, 162-176.
  • C.I. Gerhardt, (1898) "Uber die vier Briefe von Leibniz, die Samuel Konig in dem Appel au public, Leide MDCCLIII, veroffentlicht hat", Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, I, 419-427.
  • W. Kabitz, (1913) "Uber eine in Gotha aufgefundene Abschrift des von S. Konig in seinem Streite mit Maupertuis und der Akademie veroffentlichten, seinerzeit fur unecht erklarten Leibnizbriefes", Sitzungsberichte der Koniglich Preussischen Akademie der Wissenschaften, II, 632-638.
  • H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd ed., Addison Wesley, pp. 362-371. ISBN 0-201-02918-9
  • H. Hertz, (1896) Principles of Mechanics, in Miscellaneous Papers, vol. III, Macmillan.