Принцип аргументу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:

де і — кількість нулів і полюсів функції в області обмеженій , з врахуванням кратності.

Доведення[ред.ред. код]

Якщо точка є нулем порядку n функції тоді можна записати , і функція є голоморфною в точці і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо

Поділивши на f одержуємо:

.

Отже має простий полюс в точці і лишок в цій точці рівний:

що рівно порядку нуля.

Якщо точка є полюсом порядку m, то де функція є голоморфною в точці і не дорівнює в ній нулю.

Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:

і лишок в цій точці буде рівним

Нехай тепер — нулі функції f порядків і — полюси функції f порядків Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції лишки в яких рівні відповідно і Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-1437-2