Принцип аргументу

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Принцип аргументу — теорема в комплексному аналізі, важливий наслідок основної теореми про лишки.

Твердження[ред.ред. код]

Нехай C — простий замкнутий контур. Нехай функція f мероморфна в області обмеженій і не має на C ні нулів ні полюсів. Тоді справедлива формула:

\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (N-P)

де N і P — кількість нулів і полюсів функції f в області обмеженій C, з врахуванням кратності.

Доведення[ред.ред. код]

Якщо точка z_0 є нулем порядку n функції f тоді можна записати f(z) = (z-z_0)^n \phi(z), і функція \phi є голоморфною в точці z_0 і не дорівнює в ній нулю. Продиференціювавши одержимо

f'(z) = (z-z_0)^n \phi '(z) + n (z-z_0)^{n-1} \phi(z)

Поділивши на f одержуємо:

{f'(z)\over f(z)} = \frac{(z-z_0)^n \phi '(z) + n (z-z_0)^{n-1} \phi(z)}{z-z_0)^n \phi(z)} = \frac{\phi' (z)}{\phi (z)} + \frac{n}{z-z_0}.

Отже {f'(z)\over f(z)} має простий полюс в точці z_0 і лишок в цій точці рівний:

Res \left({f'(z)\over f(z)}, z_0 \right) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0) \left [ \frac{\phi' (z)}{\phi (z)} + \frac{n}{z-z_0} \right ] = \lim_{z \to z_0}  \left [ (z - z_0) \frac{\phi' (z)}{\phi (z)} + n \right ] = 0 + n = n,

що рівно порядку нуля.

Якщо точка z_p є полюсом порядку m, то f(z) = \frac {g(z)}{(z-z_p)^m} де функція g(z) є голоморфною в точці z_p і не дорівнює в ній нулю.

Подібними до попередніх розрахунків одержимо, що:

{f'(z)\over f(z)} = \frac{g' (z)}{g (z)} + \frac{-m}{z-z_p}

і лишок в цій точці буде рівним -m.

Нехай тепер z_0^1, \ldots, z_0^r — нулі функції f порядків n_1, \ldots, n_r і z_p^1, \ldots, z_p^s — полюси функції f порядків m_1, \ldots, m_s. Згідно з попереднім усі ці точки є простими полюсами функції {f'(z)\over f(z)}, лишки в яких рівні відповідно n_1, \ldots, n_r і - m_1, \ldots, - m_s. Згідно з основною теоремою про лишки звідси одержується:

\oint_{C} {f'(z) \over f(z)}\, dz=2\pi i (N-P)

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Дьедонне Ж. Основы современного анализа, — М. Мир, 1964
  • Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука. — 1969, 577 стр.
  • Rudin, Walter, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054234-1
  • Zill Dennis G., Shanahan Patrick D., A first course in complex analysis with applications, Jones and Bartlett Publishers, Inc., ISBN 0-7637-1437-2