Принцип нерозрізнюваності частинок

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Принцип нерозрізнюваності частинок — одне з основних тверджень квантової механіки, згідно з яким частинки одинакового роду жодним чином не можливо розрізнити між собою й проіндексувати.

На відміну від класичної фізики, у квантовій механіці положення частинки не є чітко визначеним у просторі. Ймовірність знайти частинку в тій чи іншій точці задається квадратом абсолютного значення хвильової функції. Тому, кожна із одинакових часток має певну ймовірність перебувати в якій-небудь визначеній точці простору. За таких умов неможливо розрізнити, яку з них ми бачимо. Якщо в класичній фізиці частинки одинакові, ми все ж можемо подумки присвоїти кожній із них номер і відслідковувати їхні траєкторії. У квантовій механіці це неможливо.

Симетричні й антисиметричні хвильові функції[ред.ред. код]

Умова нерозрізнюваності частинок накладає додаткові вимоги на хвильову функцію багаточастинкової системи. Ймовірність знайти частинку в заданій точці не повинна залежати від довільно присвоєного цій частинці індексу. Тобто, у разі зміни індексування ймовірність має залишитися тією ж.

Взаємодія між частинками залежить від віддалі між ними, і в разі перестановки не змінюється. Наприклад, електрон, позначений індексом 1, взаємодіє із електроном, позначеним індексом 2, вносячи вклад до потенційної енергії квантомеханічної системи  \frac{e^2}{r_{12}} . Якщо змінити нумерацію, і позначити перший електрон індексом 2, а другий електрон індеском 1, то цей внесок до потенційної енергії не зміниться.

Схоже твердження справедливе стосовно хвильової функції. Внаслідок перестановкм частинок імовірність знайти частинку визначеного сорту в будь-які точці простору не повинна змінитися. Але хвильова функція задає лише амплітуду ймовірності, тож після перестановки частинок хвильова функція може залишитися такою ж, або ж змінити знак на протилежний. Зміна знаку хвильової функції не впливає на ймовірність.

Таким чином, у квантовій механіці існує два види частинок. Для одного з них знак хвильвої функції не змінюється від перестановки частинок. Такі частинки називають бозонами.

Частинки, для яких хвильова функція внаслідок перестановки змінює знак, називають ферміонами.

Власні значення оператора перестановок[ред.ред. код]

Формально твердження попереднього параграфу доводиться наступним чином.

Назвемо оператором перестановок таку дію на будь-яку багаточастинкову хвильвову функцію, яка переставляє індекси частинок.

 \hat{\Pi}_{i,j} \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_i,..., \mathbf{r}_j, ...,
\mathbf{r}_N) =  \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2,...,\mathbf{r}_j,..., \mathbf{r}_i, ...,
\mathbf{r}_N)

Оператор перестановок комутує із гамільтоніаном

[ \hat{\Pi}_{i,j}, \hat{H}] =0.

Отже, оператор перестановок має спільні з гамільтоніаном власні функції.

Нехай  \psi - власна функція оператора перестановок із певним власним числом  \lambda

 \hat{\Pi}_{i,j}  \psi =  \lambda\psi .

Вочевидь, повторна дія оператора перестановок на функцію повертає її до початкового виду, а тому

\hat{\Pi}_{i,j} \hat{\Pi}_{i,j}  \psi  = \lambda^2\psi = \psi

Звідси отримуємо рівняння для знаходження  \lambda

 \lambda^2 = 1

Два можливі розв'язки цього рівняння

 \lambda = 1 та
 \lambda = -1 ,

а отже при перестановці частинок хвильова функція або залишається незмінною або міняє знак.

Значення[ред.ред. код]

Нерозрізнюваність часток у квантовій механіці призводить до існування особливої квантової статистики, різної для ферміонів і бозонів. Ферміони підпорядковуються статистиці Фермі-Дірака, бозони - статистиці Бозе-Ейнштейна.

Антисиметричність хвильової функції електронів має наслідком утворення ковалентних зв'язків (спарювання валентних електронів) у хімічних сполуках.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Юхновський І.Р. (2002). Основи квантової механіки. Київ: Либідь.