Проективний модуль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Проективний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проективні модулі є окремим випадком проективних об'єктів[en].

Визначення[ред. | ред. код]

Проективний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.

Модуль над кільцем (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проективним, якщо для будь-якого гомоморфізма і епіморфізма існує такий гомоморфізм , що , тобто дана діаграма є комутативною:

Діаграма для проектованого модуля

Модуль є проективним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль , що пряма сума є вільним модулем.

Справді, нехай є компонентою прямої суми , яка є вільним модулем, і — гомоморфізм, a — епіморфізм. Тоді теж є гомоморфізмом ( — проекція прямої суми на перший доданок ), а так як вільні модулі є проективними, то існує гомоморфізм , такий, що , звідси , де — гомоморфізм включення , звідси
Навпаки, нехай — проективний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм буде рівним для деякого , так як є проективним. Будь-який елемент тоді можна записати як
,
де є ізоморфним .

є проективним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма індукований гомоморфізм теж є епіморфізмом.

є проективним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність в точну послідовність .

Модуль над кільцем є проективним тоді і тільки тоді, коли існує множина і множина гомоморфізмів таких що для кожного виконується рівність і fi(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.

Властивості[ред. | ред. код]

  • Пряма сума модулів є проективним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проективним.
  • Будь-який проективний модуль є плоским.
  • Локалізація проективного модуля над комутативним кільцем є проективним модулем над локалізованим кільцем.

Приклади[ред. | ред. код]

Справді, нехай — елементи базису модуля і . Оскільки — епіморфізм, можна знайти такі , що . Тоді можна визначити, задавши його значення на векторах базису як .

Див. Також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]