Проєктивний модуль

Проєктивний модуль — важливий тип модулів, що є узагальненням вільних модулів. З точки зору теорії категорій, проєктивні модулі є окремим випадком проєктивних об'єктів.

Визначення

Проєктивний модуль можна визначити кількома еквівалентними способами.

• Модуль $P$ над кільцем $R$ (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), називається проєктивним, якщо для будь-якого гомоморфізма $g\colon P\to M$ і епіморфізма $f\colon N\to M$ існує такий гомоморфізм $h\colon P\to N$, що $g=fh$, тобто дана діаграма є комутативною:

Діаграма для проєктованого модуля

• Модуль $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує такий модуль $K$, що пряма сума $F=P\oplus K$ є вільним модулем.

Справді, нехай $P$ є компонентою прямої суми $F$, яка є вільним модулем, і $g\colon P\to M$ — гомоморфізм, a $f\colon N\to M$ — епіморфізм. Тоді $g\circ p_{1}\colon F\to M$ теж є гомоморфізмом ($p_{1}$ — проєкція прямої суми $F$ на перший доданок $P$), а так як вільні модулі є проєктивними, то існує гомоморфізм $h_{1}\colon F\to N$, такий, що $g\circ p_{1}=f\circ h_{1}$, звідси $g\circ p_{1}\circ i_{1}=f\circ h_{1}\circ i_{1}$, де $i_{1}$ — гомоморфізм включення $P\to F$, звідси

$g=f\circ h_{1}\circ i_{1}\colon P\to M$

Навпаки, нехай $P$ — проєктивний модуль. Кожен модуль є гомоморфним образом вільного. Нехай $g\colon F\to P$ — відповідний епіморфізм. Тоді тотожний ізоморфізм $id\colon P\to P$ буде рівним $id=g\circ h$ для деякого $h\colon P\to F$, так як $P$ є проєктивним. Будь-який елемент $F$ тоді можна записати як

$x=h\circ g(x)+(x-h\circ g(x))\in \mathrm {Im} \,h\oplus \mathrm {Ker} \,g$,

де $\mathrm {Im} \,h$ є ізоморфним $P$.

• $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для будь-якого епіморфізма $f\colon N\to M$ індукований гомоморфізм $f_{*}\colon {\text{Hom}}(P,N)\to {\text{Hom}}(P,M)$теж є епіморфізмом.
• $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли він переводить будь-яку коротку точну послідовність $0\to A\to B\to C\to 0$ в точну послідовність $0\to {\text{Hom}}(P,A)\to {\text{Hom}}(P,B)\to {\text{Hom}}(P,C)\to 0$.
• Модуль $P$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли кожна коротка точна послідовність модулів виду

$0\rightarrow A\rightarrow B\ {\xrightarrow {f}}\ P\rightarrow 0$

розщеплюється. Тобто для відображення f : B ↠ P на діаграмі існує відображення h : P → B, таке що f ∘ h = id_P. У цьому випадку h(P) є прямим доданком модуля B, h є ізоморфізмом із P на h(P), а h ∘ f є проєкцією на h(P). Це також можна записати як

$B=\mathrm {Im} (h)\oplus \mathrm {Ker} (f)\ \ \;\ \mathrm {Ker} (f)\cong A\ \land \ \mathrm {Im} (h)\cong P.$

• Модуль $P$ над кільцем $R$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли існує множина $\{a_{i}\in P\mid i\in I\}$ і множина гомоморфізмів $\{f_{i}\in \mathrm {Hom} (P,R)\mid i\in I\}$ таких що для кожного $x\in P,$ виконується рівність $x=\sum f_{i}(x)a_{i}$ і f_i(x) не рівне нулю лише для скінченної кількості індексів i.
• Модуль $P$ над кільцем $R$ є проєктивним тоді і тільки тоді, коли для всіх R-модулів T функтор Ext задовольняє умову $\operatorname {Ext} _{R}^{1}(P,T)=0$ (і тому $\operatorname {Ext} _{R}^{i}(P,T)=0,\;i>0.$)

Властивості

• Пряма сума модулів є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли кожен доданок є проєктивним.
• Будь-який проєктивний модуль над кільцем головних ідеалів або локальним комутативним кільцем є вільним модулем.
• Будь-який проєктивний модуль є плоским.
• Локалізація проєктивного модуля над комутативним кільцем є проєктивним модулем над локалізованим кільцем. Оскільки проєктивний модуль над локальним кільцем є вільним то локалізація кільця модуля по всіх простих ідеалах є вільним модулем. Також ця властивість описується так, що проєктивний модуль є локально вільним.

Приклади

• Найпростіший приклад проєктивного модуля — вільний модуль $F$.

Справді, нехай $x_{1},x_{2},\ldots ,x_{i},\ldots$ — елементи базису модуля $F$ і $g(x_{i})=y_{i}$. Оскільки $f$ — епіморфізм, можна знайти такі $z_{i}$, що $f(z_{i})=y_{i}$. Тоді $h$ можна визначити, задавши його значення на векторах базису як $h(x_{i})=z_{i}$.

• Для кілець многочленів від кількох змінних над полем будь-який проєктивний модуль є вільним.
• У кільці Дедекінда кожен ідеал, що не є головним є проєктивним модулем і не є вільним модулем.
• Абелева група є проєктивним модулем тоді і тільки тоді, коли вона є вільною.

Див. також

• Лема Шаунеля
• Вільний модуль
• Ін'єктивний модуль
• Проєктивний об'єкт

Література

• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — ISBN 5458320840.(рос.)