Просте кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце R називається простим, якщо R^2 \neq \{0\} і R\, не має двосторонніх ідеалів, відмінних R\, і \{0\}\,.

Приклади і теореми[ред.ред. код]

  • Розглянемо кільце R таке, що R^2 \neq \{0\}, і аддитивна група \langle R +\rangle має простий порядок. Тоді кільце R — просте, оскільки в \langle R + \rangle немає власних підгруп.
  • Асоціативне комутативне кільце R\, з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли R\, просте кільце.
Припустимо спершу, що R\, задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай x \in R деякий ненульових елемент. Тоді Rx\, є ненульовим ідеалом оскільки x=x\cdot 1 \in Rx. Зважаючи на простоту кільця одержуємо Rx=R\,. Звідси випливає існування елемента y \in R, такого що yx=1\,.
Навпаки, припустимо R\, — деяке поле і I\, його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент x\, він також містить r=rx^{-1}x\, для всіх r \in R, тобто I=R\,, що й доводить простоту.
Для доведення спершу позначимо E_{i,j}\, матриці в яких на позиції (i,j)\, стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати E = \sum_{i=1}^{n}E_{i,i}. Нехай тепер I\, — деякий ненульовий ідеал, а x \in I — ненульовий елемент. Виконується рівність
 x=ExE=\sum_{i,j}^{}E_{i,i}xE_{j,j}. Для деякої пари (i,j)\, виконується y=E_{i,i}xE_{j,j} \neq 0. Оскільки елементи E_{i,j}\, є базисними то можна записати y = \sum_{r,s}^{}y_{r,s}E_{r,s}. Очевидно y=y_{i,j}E_{i,j}\quad y_{i,j}\neq 0. Звідси одержуємо E_{i,j} \in I. З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно I = \mathrm{Mat}(P, n)\,

Теорема Веддерберна — Артіна[ред.ред. код]

Нехай R\, — просте кільце Артіна. Тоді кільце R\, ізоморфне кільцю всіх матриць порядку n\, над деяким тілом. При цьому n\, визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла D\, кільце \mathrm{Mat}(D, n)\, є простим кільцем Артіна.

Література[ред.ред. код]

  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
  • Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.