Просте кільце

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Кільце називається простим, якщо і не має двосторонніх ідеалів, відмінних і .

Приклади і теореми[ред.ред. код]

  • Розглянемо кільце таке, що , і аддитивна група має простий порядок. Тоді кільце — просте, оскільки в немає власних підгруп.
  • Асоціативне комутативне кільце з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли просте кільце.
Припустимо спершу, що задовольняє всі умови теореми і є простим. Нехай деякий ненульових елемент. Тоді є ненульовим ідеалом оскільки . Зважаючи на простоту кільця одержуємо . Звідси випливає існування елемента , такого що .
Навпаки, припустимо — деяке поле і його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент він також містить для всіх , тобто , що й доводить простоту.
  • Якщо - поле, — додатне ціле число, то кільце матриць — просте.
Для доведення спершу позначимо матриці в яких на позиції стоїть одиничний елемент поля, а на інших позиціях нулі. Тоді одиничну матрицю можна записати . Нехай тепер — деякий ненульовий ідеал, а — ненульовий елемент. Виконується рівність
. Для деякої пари виконується . Оскільки елементи є базисними то можна записати . Очевидно . Звідси одержуємо . З властивостей множення базисних елементів одержуємо, що всі вони належать ідеалу і відповідно

Теорема Веддерберна — Артіна[ред.ред. код]

Нехай — просте кільце Артіна. Тоді кільце ізоморфне кільцю всіх матриць порядку над деяким тілом. При цьому визначено однозначно, а тіло з точністю до ізоморфізму. Навпаки, для будь-якого тіла кільце є простим кільцем Артіна.

Література[ред.ред. код]

  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.
  • Джекобсон Н. Строение колец. — М.: Издательство иностранной литературы, 1961.
  • Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972.