Простий модуль

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі простий модуль (також незвідний модуль) — ненульовий унітарний модуль M над кільцем R з одиницею, що містить лише два підмодулі — нульовий і сам M.

Приклади[ред.ред. код]

  1. якщо R = \Z — кільце цілих чисел то простими \Z-модулями, є абелеві групи простого порядку;
  2. якщо Rтіло, то простими R-модулями є одновимірні векторні простори над R;
  3. якщо D — тіло, V — лівий векторний простір над D, R = EndDV — кільце лінійних перетворень простору V (або щільне підкільце цього кільця), то правий R-модуль є простим;
  4. якщо G — група, kполе, то незвідні представлення групи G над k — це в точності прості модулі над груповою алгеброю kG.

Властивості[ред.ред. код]

  • Прості модулі можна еквівалентно визначити як модулі довжина яких рівна 1.
  • Довільний простий модуль є циклічним, тобто породженим одним елементом або M = (x) = R x = {rx | r ∈ R} для деякого елемента x, що належить M.
  • Правий R-модуль М є простим тоді і тільки тоді, коли він ізоморфний R/I, де I — деякий максимальний правий ідеал в R.
  • Якщо А, В — прості R-модулі, f \in Hom_R (A, B), то або f=0, або fізоморфізм (звідки випливає, що кільце ендоморфізмів простих модулів є тілом).
  • Якщо ж Rалгебра над алгебраїчно замкнутим полем k; А, В — прості R-модулі то (лемма Шура):
Hom_R (A, B) =  \begin{cases} k & A \cong B \\ \{0\}& A \ncong B\end{cases}

Поняття простого модуля є одним з основних в теорії кілець і теорії представлення груп. З його допомогою визначаються композиційний ряд і цоколь модуля, радикали Джекобсона модуля і кільця, цілком незвідний модуль. Прості модулі використовуються у визначенні ряду важливих класів кілець: класично напівпростих кілець, примітивних кілець.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 5./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
  • Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972.