Простір Шварца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца[1]. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою або .

Формально кажучи, складається з таких гладких функцій , що при швидше, ніж при довільному додатному .

Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.

Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.

Означення[ред.ред. код]

Нехай  — простір нескінченно-диференційовних функцій , а

 — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут  — деяка компактна множина в ).

Для довільних мультиіндексів визначимо систему норм наступним чином:

Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на є такий функціональний простір:

З означення простору випливає, що виконуються нерівності

де  — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.

Збіжність в просторі визначається наступним чином: послідовність функцій збігається до функції , якщо

а) для довільного послідовність похідних збігається рівномірно до в довільній обмеженій області;

б) для довільних виконуються оцінки

де сталі не залежать від .

Приклади[ред.ред. код]

Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції
  • як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду

де  — довільний многочлен;

Властивості[ред.ред. код]

  • за означенням функції з простіру є підмножиною функцій із ;
  • функції з утворюють щільну множину в ;
  • лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із та зсув по аргументу не виводять за межі простору
  • простір Шварца є простором Фреше — повним метризованим локально випуклим простором
  • перетворення Фур'є є автоморфізмом
  • довільна функція із є рівномірно неперервною на

Простори типу S[ред.ред. код]

З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності

Якщо числа спеціальним чином залежать від мультиіндексів та то виділяють такі простори типу простору Шварца:

  • Простір складається з таких нескінченно диференційовних функцій , для яких виконуються нерівності

де сталі залежать від функції .

  • Простір складається з таких нескінченно диференційовних функцій , які задовольняють нерівності

де сталі залежать від функції .

  • Простір

складається з таких нескінченно диференційовних функцій , які задовольняють нерівності

де сталі залежать від функції .

Простори можна вважати граничними випадками простору , а саме

Примітки[ред.ред. код]

  1. TerzioĞglu, T. (1969). On Schwartz spaces. Mathematische Annalen, 182(3), 236–242.

Література[ред.ред. код]

  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М. : Физматлит, 1959. — 472 с.
  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М. : Физматлит, 1958. — 308 с.

Посилання[ред.ред. код]