Простір Шварца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Простір Шварца — простір функцій, всі похідні яких швидко спадають до нуля з ростом аргумента. Названий Александром Гротендіком в честь Лорана Шварца[1]. Функції з цього простору часто називають функціями Шварца. Позначається найчастіше буквою S або \mathcal{S}.

Формально кажучи, складається з таких гладких функцій f(x), що x^m\partial^k f(x) \rightarrow 0 при |x| \rightarrow \infty швидше, ніж \frac{1}{|x|^{\alpha}} при довільному додатному \alpha.

Важливою властивістю простору Шварца є те, що перетворення Фур'є є автоморфізмом цього простору. Будь-яку функцію з цього простору перетворення Фур'є переводить у деяку функцію з цього ж простору, і навпаки — кожна з функцій з простору Шварца є прообразом Фур'є деякої функції з цього простору.

Даний простір використовується, наприклад, як простір основних функцій при означенні перетворення Фур'є узагальнених функцій (узагальнені функції над S часто називають узагальненими функціями повільного зростання) і відіграє досить важливу роль у функціональному аналізі та теорії рівнянь з частинними похідними.

Означення[ред.ред. код]

Нехай C^\infty(\R^n) — простір нескінченно-диференційовних функцій f(x):\R^n\rightarrow \C, а

C_D^\infty(\R^n), D\subset\R^n — простір нескінченно-диференційовних функцій з компактним носієм (тут D — деяка компактна множина в \R^n).

Для довільних мультиіндексів m, k визначимо систему норм \|\cdot\|_{m, k} наступним чином:

\|f\|_{m,k}=\sup_{x\in\R^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |, \quad f(x)\in C^\infty(\R^n).

Простором Шварца або простором швидкоспадних функцій на \R^n є такий функціональний простір:

S \left(\R^n\right) = \left \{ f \in C^\infty(\mathbf{R}^n) \mid  \|f\|_{m,k} < +\infty\quad \forall m, k \right \}.

З означення простору випливає, що виконуються нерівності

\sup_{x\in\R^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |\leqslant C_{mk},

де C_{mk} — деякі подвійна послідовність додатних дійсних чисел, причому на поведінку цієї послідовності не накладається ніяких обмежень.

Збіжність в просторі S визначається наступним чином: послідовність функцій \{\varphi_s(x)\}_{s=1}^{\infty} збігається до функції \varphi(x), якщо

а) для довільного q=0,1,2,\ldots послідовність похідних \{\varphi^{(q)}_s(x)\} збігається рівномірно до \varphi^{(q)}(x) в довільній обмеженій області;

б) для довільних m, k виконуються оцінки

\sup_{x\in\R^n} \left |x^m \partial^k \varphi_s(x) \right |\leqslant C_{mk}, де сталі C_{mk} не залежать від s.

Приклади[ред.ред. код]

Двовимірна функція Гауса є прикладом швидкоспадної функції
f(x) = x^a\displaystyle e^{- (bx)^2 },\quad a,b\in\R;
  • як узагальнення попереднього прикладу — всі функції виду
f(x) = P(x)\displaystyle e^{- bx^\alpha },\quad b, \alpha>0,

де P(x) — довільний многочлен;

Властивості[ред.ред. код]

  • за означенням функції з простіру S \left(\R^n\right) є підмножиною функцій із C^\infty(\R^n), \, S \left(\R^n\right)\subset C^\infty(\R^n);
  • лінійна комбінація, поточковий добуток довільних двох функцій із S(\R^n) та зсув по аргументу не виводять за межі простору S(\R^n)
f,g\in S(\R^n),\,\, \forall \alpha, \beta\in \R,\,\, \forall h\in \R^n :\quad \alpha f(x)+ \beta g(x), \,\, f(x)\cdot g(x),\,\, f(x+h)\in S(\R^n);
  • простір Шварца є простором Фреше — повним метризованим локально випуклим простором
  • S(\R^n)\subset L^p(\R^n) для довільного p,\,1\leqslant p\leqslant +\infty;
  • перетворення Фур'є є автоморфізмом S(\R^n)\rightarrow S(\R^n);
  • довільна функція із S(\R) є рівномірно неперервною на \R.

Простори типу S[ред.ред. код]

З означення простору Шварца випливає, що виконуються нерівності

\sup_{x\in\R^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |\leqslant C_{mk}.

Якщо числа C_{mk} спеціальним чином залежать від мультиіндексів m та k, то виділяють такі простори типу простору Шварца:

  • Простір S_\alpha, \alpha\geqslant 0, складається з таких нескінченно диференційовних функцій f(x), для яких виконуються нерівності
\|f\|_{m,k}=\sup_{x\in\R^n} \left |x^m \partial^k f(x) \right |\leqslant C_k B^m m^{m\beta}, \quad f\in C^\infty(\R^n)

де сталі C_k, A залежать від функції f.

  • Простір S^\beta, \beta\geqslant 0, складається з таких нескінченно диференційовних функцій f(x), які задовольняють нерівності
\|f\|_{m,k}\leqslant C_m A^k k^{k\alpha},

де сталі C_m, B залежать від функції f.

  • Простір S_\alpha^\beta,  \alpha, \beta\geqslant 0,

складається з таких нескінченно диференційовних функцій f(x), які задовольняють нерівності

\|f\|_{m,k}\leqslant C A^k B^m k^{k\alpha} m^{m\beta},

де сталі C, A, B залежать від функції f.

Простори S_\alpha, S^\beta, S можна вважати граничними випадками простору S_\alpha^\beta, а саме

S_\alpha=S_\alpha^\infty,\quad S^\beta=S_\infty^\beta, \quad S=S_\infty^\infty.

Примітки[ред.ред. код]

  1. TerzioĞglu, T. (1969). On Schwartz spaces. Mathematische Annalen, 182(3), 236–242.

Література[ред.ред. код]

  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. — М. : Физматлит, 1959. — 472 с.
  • Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Пространства основных и обобщенных функций. — М. : Физматлит, 1958. — 308 с.

Посилання[ред.ред. код]