Процедура Келі — Діксона

Процедура Келі-Діксона (процедура подвоєння) — це рекурсивна процедура побудови алгебр над полем дійсних чисел, з подвоєнням розмірності на кожному кроці.

Дана процедура дозволяє визначити комплексні числа, кватерніони, октави, седеніони і т.д.

Також використовується в теоремі Гурвіца для знаходження всіх нормованих алгебр з одиницею.

Кватерніони

Довільний кватерніон $\ q=a+bi+cj+dk$ можна представити у вигляді $\ q=(a+bi)+(c+di)j$

або $\ q=z_{1}+z_{2}j,\quad z_{1}=a+bi,\quad z_{2}=c+di,$

де $\ z_{1},z_{2}$ — комплексні числа.

Позначимо ще один кватерніон як

$\ r=w_{1}+w_{2}j.$

Перемноживши кватерніони, отримаємо:

$\ qr=(z_{1}+z_{2}j)(w_{1}+w_{2}j)=z_{1}w_{1}+z_{1}w_{2}j+z_{2}jw_{1}+z_{2}jw_{2}j$ — дужки розкрили, бо множення кватерніонів асоціативне.

Оскільки $\ zj=j{\bar {z}},\;zw=wz,$

то переставимо множники і отримаємо:

$\ qr=(z_{1}w_{1}-{\bar {w_{2}}}z_{2})+(w_{2}z_{1}+z_{2}{\bar {w_{1}}})j.$

Отже кватерніони можна визначити як вирази, виду $\ z_{1}+z_{2}j$, що задовільняють формулу множення, що збігається з формулою множення комплексних чисел.

Загальний випадок

Якщо для деяких чисел $\ a$ та $\ b$ існують поняття: множення, ділення, спряженого числа і норми числа як $\ |a|^{2}=a{\bar {a}},$

то ці поняття можна ввести і для впорядковиних пар чисел $\ (a,b)$:

• $\ (a,b)(c,d)=(ac-{\bar {d}}b,da+b{\bar {c}})$ — закон множення пар,
• $\ {\overline {(a,b)}}=({\bar {a}},-b)$ — спряжена пара.

Властивості

• Норма впорядкованої пари:

$\ |(a,b)|^{2}=(a,b){\overline {(a,b)}}=(a,b)({\bar {a}},-b)=(a{\bar {a}}+b{\bar {b}},ba-ba)=(|a|^{2}+|b|^{2},0)=|a|^{2}+|b|^{2}$ — рівна нулю тільки при a=b=0.

• Ділення $\ r/q$ визначається як $\ {\frac {{\bar {r}}q}{|q|^{2}}}$ чи $\ {\frac {q{\bar {r}}}{|q|^{2}}}$ — отже з попередньої властивості випливає відсутність дільників нуля.
• Якщо для чисел виконується $\ {\overline {ab}}={\bar {b}}\cdot {\bar {a}},$ то це виконується і для впорядкованих пар:

$\ {\overline {(a,b)(c,d)}}=({\bar {c}}{\bar {a}}-{\bar {b}}d,-da-b{\bar {c}})=({\bar {c}},-d)({\bar {a}},-b)={\overline {(c,d)}}\cdot {\overline {(a,b)}}.$

• Якщо для впорядкованих пар виконується попередня умова та умова альтернативності, то вони утворюють нормовану алгебру, оскільки:

$\ |rq|^{2}=(rq){\overline {(rq)}}=(rq)({\bar {q}}{\bar {r}})=r(q{\bar {q}}){\bar {r}}=|r|^{2}\cdot |q|^{2}.$

Узагальнення Шафера

Всі попередні формули будували гіперкомплексні системи з квадратом уявної одиниці рівним (-1). Але при створенні пар можна брати числа що мають квадрат уявної одиниці рівним як (+1) так і (-1) і змінювати закон множення пар (дивись Алгебри Кліффорда).

Див. також

• Бікватерніони

Джерела

• Кантор И. Л., Солодовников А. С. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)