Проєктивний об'єкт

У теорії категорій, поняття проєктивного об'єкта узагальнює проєктивні модулі. Проєктивні об'єкти у абелевих категоріях широко використовуються у гомологічній алгебрі. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.

Означення

Об'єкт $P$ у категорії ${\mathcal {C}}$ називається проєктивним якщо для довільного епіморфізма $e:E\twoheadrightarrow X$ і морфізма $f:P\to X$, існує морфізм ${\overline {f}}:P\to E$ для якого $e\circ {\overline {f}}=f$, тобто існує комутативна діаграма:

У локально малій категорії ${\mathcal {C}}$ $P$ є проєктивним якщо і тільки якщо функтор Hom

$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$

зберігає епіморфізми.

Абелеві категорії

Нехай ${\mathcal {C}}$ — локально мала абелева категорія. У цьому випадку об'єкт $P\in {\mathcal {C}}$ називається проєктивним об'єктом якщо

$\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Ab}$

є точним функтором, де $\mathbf {Ab}$ є категорією абелевих груп.

Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є

• Функтор Hom $\operatorname {Hom} (P,-)\colon {\mathcal {C}}\to \mathbf {Set}$ переводить коядра об'єктів у коядра.
• Функтор Hom $\operatorname {Hom} (P,-)$ переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
• Функтор Hom $\operatorname {Hom} (P,-)$ переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
• Кожна послідовність виду

$0\to U\to V\to P\to 0$

є точною у ${\mathcal {C}}$ тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто $V$ є ізоморфним прямій сумі $U\oplus P$.

Властивості

• Кодобуток двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом.
• Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.

Достатньо проєктивних об'єктів

Нехай ${\mathcal {A}}$ — абелева категорія. Кажуть, що ${\mathcal {A}}$ має достатньо проєктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта $A$ у ${\mathcal {A}}$ існує проєктивний об'єкт $P$ у ${\mathcal {A}}$ і точна послідовність

$P\longrightarrow \longrightarrow 0.$

Іншими словами $p\colon P\to A$ є епіморфізмом.

Приклади

• Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є еквівалентним аксіомі вибору.
• Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.
• Нехай $R$ — кільце з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих $R$-модулів ${\mathcal {M}}_{R}$. Проєктивними об'єктами у ${\mathcal {M}}_{R}$ є проєктивні ліві R-модулі. Зокрема $R$ є проєктивним об'єктом у ${\mathcal {M}}_{R}.$
• Категорія лівих (правих) $R$-модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого) $R$-модуля $M$, можна взяти вільний (а відтак проєктивний) $R$-модуль $F$ породжений елементами $M$ і канонічна проєкція $\pi \colon F\to M$ буде необхідним сюр'єктивним відображенням.

Див. також

• Ін'єктивний об'єкт
• Проєктивний модуль