Пряма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Пряма́ — одне з основних понять геометрії. При систематичному викладі геометрії пряма лінія зазвичай приймається за одне з вихідних понять, яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Якщо основою побудови геометрії служить поняття відстані між двома точками простору, то пряму лінію можна визначити як лінію, шлях уздовж якої дорівнює відстані між двома точками. Основна властивість прямої: через будь-які дві точки можна провести пряму, і до того ж тільки одну.

Властивості прямої в евклідовій геометрії[ред.ред. код]

  • Через будь яку точку можна провести бескінечно багато прямих.
  • Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.
  • Дві неспівпадаючі прямі на плоскости або перетинаються в єдиній точці, або є паралельними (випливає з попереднього).У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих.
  • У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Три графіки лініній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

ax + by + c = 0

де a\,, b\,, c\, — деякі числа, при чому a\, або b\, повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, Канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

y=kx+b.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

Загальне визначення прямої[ред.ред. код]

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:

Ax+By+C=0,\,

де A, B и C — довільні постійні, причому постійні A и B не дорівнюються нулю одночасно.

При A = 0 пряма паралельня осі Ox, при B = 0 — паралельна осі Oy.

Вектор з координатами (A, B) називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій.

При C=0 пряма проходить через початок координат.

Також ріняння можно переписати у вигляді:

 A(x-x_0)+B(y-y_0)=0.

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом[ред.ред. код]

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь Oy у точці (0,\;b) і утворює кут \varphi з додатним напрямком осі Ox:

y=kx+b,\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi.

Коефіцієнт k називається кутовим коефіцієнтом прямої

У цьому виді неможливо уявити пряму, паралельну осі (іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт «звертається в нескінченність».)

Отримання рівняння прямої у відрізках

Рівняння прямої у відрізках[ред.ред. код]

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь Ox у точці (a,\;0) та вісьсь Oy у точці (0,\;b):

\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1\quad(a\ne 0,\;b\ne 0).

У цьому вигляді неможливо уявити пряму, що проходить через початок координат.

Нормальне рівняння прямої[ред.ред. код]

x\cos\theta+y\sin\theta-p=0,\,

де p — довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а \theta — кут (Обмірюваний в додатному напрямку) між додатним напрямом осі Ox. Якщо p=0, то пряма проходить через початок координат, а кут \theta=\varphi+\frac{\pi}{2} задає кут нахилу прямої.

Якщо пряма задана загальним рівнянням Ax+By+C=0, то відрізки a та b, відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт k, відстань від початку координат p, \cos\theta и \sin\theta  виражаються через коефіцієнти A, B и C наступним чином:

a=-\frac{C}{A},\quad b=-\frac{C}{B},\quad k=\mathrm{tg}\,\varphi=-\frac{A}{B},\quad\varphi=\theta-\frac{\pi}{2},
p=\frac{C}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\cos\theta=\frac{A}{\pm\sqrt{A^2+B^2}},\quad\sin\theta=\frac{B}{\pm\sqrt{A^2+B^2}}.

Щоб уникнути невизначеності знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова p>0. У цьому випадку \cos\theta та \sin\theta є напрямними косинусами виражаються нормалі прямої - перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо C=0, то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки[ред.ред. код]

Якщо задані дві незбіжні точки з координатами (x_1,\;y_1) та (x_2,\;y_2), то пряма, що проходить через них задається рівнянням:

\begin{vmatrix} x & y & 1 \\ x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \end{vmatrix} = 0

або

\frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}

або у загальному вигляді

\left(y_1-y_2\right)x+\left(x_2-x_1\right)y+\left(x_1y_2-x_2y_1\right)=0.
Отримання векторного параметричного рівняння прямої

Векторне параметричне рівняння прямої[ред.ред. код]

Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором \vec{r}_0, кінець якого лежить на прямій і тих, що направляють вектором прямої \vec{u}. Параметр t пробігає всі дійсні значення.

\vec{r}=\vec{r_0}+t\vec{u}.

Параметричні рівняння прямої Параметричні рівняння прямої параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді:[ред.ред. код]

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді:

\begin{cases} x=x_0+a_xt, \\
 y=y_0+a_yt,
\end{cases}

де t — довільний параметр a_x,\; a_y — координати x та y направляючого вектора прямої. При цьому

k=\frac{a_y}{a_x},\quad a=\frac{a_yx_0-a_xy_0}{a_y},\quad b=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{a_x},
p=\frac{a_xy_0-a_yx_0}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\cos\theta=\frac{a_x}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}},\quad\sin\theta=\frac{a_y}{\pm\sqrt{a_x^2+a_y^2}}.

Сенс параметра t аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.

Канонічне рівняння прямої[ред.ред. код]

Канонічне рівняння виходить з параметричних рівнянь діленням одного рівняння на інше:

 \frac{x-x_0}{y-y_0}=\frac{a_x}{a_y}  \Longleftrightarrow  \frac{x-x_0}{a_x}=\frac{y-y_0}{a_y}

де ~a_x, a_y — координаты ~x та ~y направляючого вектора прямої, ~ x_0 та ~ y_0 координати точки, що належить прямій.вняння прямої в полярних координатах

Рівняння прямої в полярных координатах \rho та \varphi:

\rho(A\cos\varphi+B\sin\varphi)+C=0

або

\rho\cos(\varphi-\theta)=p.\,

Рівняння прямої у просторі[ред.ред. код]

Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:

\vec r=\vec{r}_0+t\vec a,\quad t\in(-\infty,\;+\infty),

де \vec{r}_0 — радіус-вектор деякої фіксованої точки M_0, що лежить на прямой, \vec a — ненульовий вектор, коллінеарний цій прямій, \vec r — радіус-вектор довільної точки прямої.

Параметричні рівняння прямої в просторі:

x=x_0+t\alpha,\;y=y_0+t\beta,\;z=z_0+t\gamma,\quad t\in(-\infty,\;+\infty),

де (x_0,\;y_0,\;z_0) — координати фіксованої точки M_0, що лежить на прямой; (\alpha,\;\beta,\;\gamma) — координати вектора, коллінеарного цій прямій.

Канонічне рівняння прямої в просторі:

\frac{x-x_0}{\alpha}=\frac{y-y_0}{\beta}=\frac{z-z_0}{\gamma},

де (x_0,\;y_0,\;z_0) — координати фіксованої точки M_0, що лежить на прямой; (\alpha,\;\beta,\;\gamma) — координати вектора, коллінеарного цій прямій.

Оскількі пряма є перетином двох різних площин заданих відповідно загальними рівняннями:
(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0 и (\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0,

то рівняння прямоі можна задати системою цих рівнянь:

\begin{cases}(\vec r,\;\vec N_1)+D_1=0,\\
(\vec r,\;\vec N_2)+D_2=0.\end{cases}

Векторне рівняння прямої в просторі :

Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного твори радіуса-вектора довільної точки цієї прямої \vec r на фіксований вектор \vec a прямої

[\vec r, \vec a]=\vec M,

де фіксований вектор \vec M, ортогональный вектору \vec a, можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої.

В n-вимірному просторі[ред.ред. код]

Нехай задано вектор k в n-вимірному Евклідовому просторі E^n, k = (k_i) \in E^n, та \alpha_1, \dots, \alpha_n — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок x=x_i простору E^n, координати яких представлено у вигляді:

 x_i = k_i + \alpha_i t,\qquad -\infty< t < +\infty,\quad i=1, \dots, n,

називається прямою в просторі E^n що проходить через точку k в «напрямі» (\alpha_1, \dots, \alpha_n).[2]

Частина прямої, що відповідає зміні параметру t в деякому відрізку [a, b] називається прямолінійним відрізком а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку  t\ge a, — промінем.

Якщо задано дві точки (x'_i), (x''_i) то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

x_i = x'_i + (x''_i - x'_i)t, \qquad -\infty < t < +\infty, i = 1,\dots, n.

Узагальнене визначення[ред.ред. код]

  • Прямою в афінному просторі \mathcal{A} що задається точкою M_0 та відмінним від нуля вектором \mathbf{a}\in \mathcal{V} називається множина точок M, для яких вектор \overrightarrow{M_0 M} колінеарний вектору \mathbf{a}, тобто, виконується рівність:[3]
\overrightarrow{M_0 M} = l\mathbf{a}.

Таким чином, довільна пряма в просторі \mathcal{A} має властивості афінного простору розмірності 1.

Властивості[ред.ред. код]

Пряма m паралельна площині \alpha тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма p паралельна прямій m.[4]

Якщо пряма m паралельна кожній з площин \alpha та \beta що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.[4]

Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.[4]

Примітки[ред.ред. код]

  1. (Постников, с. 176)
  2. Кудрявцев Л. Д.. Математический анализ, т. 1. с. 264. 
  3. Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 
  4. а б в Я. П. Понарин (2006). Элементарная Геометрия. т.2. ISBN 5-94057-223-5. 

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.