Пряма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Червона та блакитна прямі мають однаковий кутовий коефіцієнт; червона та зелена прямі мають спільний перетин з віссю y.

Пряма́ або пряма́ лінія — одне з основних понять геометрії, введене античними математиками для позначення прямих об'єктів (тобто без кривини) з несуттєвою шириною та глибиною. Прямі є ідеалізаціями таких об'єктів.

Евклід описує пряму, як лінію нескінченної довжини, яка розташована однаково по відношенню до будь-якої своєї точки. Він визначив набір постулатів, як основних властивостей, що приймаються без доведень, а вже з них робляться логічні доведення, які і утворюють всю геометрію, яка зараз називається Евклідовою геометрією. Починаючи з кінці 19 сторіччя в активному вжитку знаходяться й інші геометрії, такі як неевклідові геометрії, проективна та афінна геометрії.

В сучасній математиці, в якій є багато геометричних концепцій, поняття лінії здебільшого залежить від способу, яким геометрія описується. Наприклад, в аналітичній геометрії, пряма визначається, як множина точок, координати яких задовільняють лінійне рівняння. В більш абстрактних концепціях, таких, як інцидентна геометрія[en], пряма може бути незалежним об'єктом, відмінним від тих точок, з яких вона складається.

При аксіоматичному опису геометрії, поняття прямої лінії зазвичай залишається невизначеним, приймається за одне з вихідних понять (так зване невизначене поняття[en]), яке лише опосередковано визначається аксіомами геометрії. Перевагою такого підходу є гнучкість у використанні такої геометрії. Так у диференціальній геометрії, пряму можна розуміти як геодезичну лінію (найкоротший шлях між двома точками), а в проективній геометрії пряма є двовимірним векторним простором (всі лінійні комбінації двох незалежних векторів). Така гнучкість корисна не тільки математикам, а й іншим. Наприклад, фізики можуть мислити шлях проходження світла, як пряму лінію.

Властивості прямої в евклідовій геометрії[ред.ред. код]

  • Через будь яку точку можна провести нескінченно багато прямих.
  • Через будь-які дві незбіжні точки можна провести єдину пряму.
  • Дві незбіжні прямі на площині або перетинаються в єдиній точці, або є паралельними (випливає з попереднього). У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих.
  • У тривимірному просторі існують три варіанти взаємного розташування двох прямих:

Алгебраїчне визначення[ред.ред. код]

Три графіки ліній — червона та синя мають однаковий нахил k, а червона та зелена мають однаковий зсув b.

Пряма лінія — алгебраїчна лінія першого порядку: у декартовій системі координат пряма лінія задається на площині рівнянням першого степеня (лінійне рівняння):

де , ,  — деякі числа, при чому або повинне бути відмінне від нуля.[1] Це рівняння - загальне рівняння прямої. Його також називають «стандартним».

Натомість, канонічне рівняння прямої, що випливає з попереднього має вигляд лінійної функції:

.

Пряма (а також пара пересічних прямих) є виродженим прикладом конічного перетину.

Загальне визначення прямої[ред.ред. код]

Загальне рівняння прямої лінії на площині в декартових координатах:

де и  — довільні постійні, причому постійні и не дорівнюються нулю одночасно.

При пряма паралельна осі , при  — паралельна осі .

Вектор з координатами називається нормальним вектором, він перпендикулярний прямій.

При пряма проходить через початок координат.

Також рівняння можна переписати у вигляді:

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом[ред.ред. код]

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь у точці і утворює кут з додатним напрямком осі :

Коефіцієнт називається кутовим коефіцієнтом прямої.

У цьому виді неможливо уявити пряму, паралельну осі (іноді в цьому випадку формально кажуть, що кутовий коефіцієнт стає нескінченним).

Отримання

рівняння прямої у відрізках]]

Рівняння прямої у відрізках[ред.ред. код]

Рівняння прямої лінії, що перетинає вісь у точці та вісь у точці :

У цьому вигляді неможливо уявити пряму, що проходить через початок координат.

Нормальне рівняння прямої[ред.ред. код]

де  — довжина перпендикуляра, опущеного на пряму з початку координат, а  — кут (обмірюваний в додатному напрямку) між додатним напрямом осі . Якщо , то пряма проходить через початок координат, а кут задає кут нахилу прямої.

Якщо пряма задана загальним рівнянням то відрізки та відсікаються нею на осях, кутовий коефіцієнт відстань від початку координат та  виражаються через коефіцієнти , та наступним чином:

Щоб уникнути невизначеності знак перед радикалом вибирається так, щоб дотримувалася умова У цьому випадку та є напрямними косинусами виражаються нормалі прямої - перпендикуляра, опущеного з початку координат на пряму. Якщо то пряма проходить через початок координат і вибір позитивного напрямку довільний.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані незбіжні точки[ред.ред. код]

Якщо задані дві незбіжні точки з координатами та , то пряма, що проходить через них задається рівнянням:

або

або у загальному вигляді

Отримання

векторного параметричного рівняння прямої]]

Векторне параметричне рівняння прямої[ред.ред. код]

Векторне параметричне рівняння прямої задається вектором кінець якого лежить на прямій, і напрямним вектором прямої Параметр пробігає всі дійсні значення.

Параметричні рівняння прямої можуть бути записані у вигляді[ред.ред. код]

де  — довільний параметр  — координати та напрямного вектора прямої. При цьому

Сенс параметра аналогічний параметру в векторно-параметричному рівнянні.

Канонічне рівняння прямої[ред.ред. код]

Канонічне рівняння виходить з параметричних рівнянь діленням одного рівняння на інше:

де  — координати та напрямного вектора прямої, та координати точки, що належить прямій.

Рівняння прямої в полярних координатах та :

або

Рівняння прямої у просторі[ред.ред. код]

Векторне параметричне рівняння прямої в просторі:

де  — радіус-вектор деякої фіксованої точки що лежить на прямій,  — ненульовий вектор, колінеарний цій прямій,  — радіус-вектор довільної точки прямої.

Параметричні рівняння прямої в просторі:

де  — координати фіксованої точки що лежить на прямій;  — координати вектора, колінеарного цій прямій.

Канонічне рівняння прямої в просторі:

де  — координати фіксованої точки що лежить на прямій;  — координати вектора, колінеарного цій прямій.

Оскільки пряма є перетином двох різних площин заданих відповідно загальними рівняннями:
і

то рівняння прямої можна задати системою цих рівнянь:

Векторне рівняння прямої в просторі :

Рівняння прямої в просторі можна записати у вигляді векторного добутку радіуса-вектора довільної точки цієї прямої на фіксований вектор прямої

де фіксований вектор , ортогональний до вектора , можна знайти, підставляючи в це рівняння радіус-вектор якої-небудь однієї відомої точки прямої.

В n-вимірному просторі[ред.ред. код]

Нехай задано вектор в n-вимірному Евклідовому просторі , , та  — деякі фіксовані числа. Геометричне місце точок простору , координати яких представлено у вигляді:

,

називається прямою в просторі , що проходить через точку в «напрямі» .[2]

Частина прямої, що відповідає зміні параметру в деякому відрізку називається прямолінійним відрізком, а її частина, що відповідає зміні параметру в проміжку , — променем.

Якщо задано дві точки , то рівняння прямої, що проходить через ці точки матиме вигляд:

.

Узагальнене визначення[ред.ред. код]

  • Прямою в афінному просторі що задається точкою та відмінним від нуля вектором називається множина точок , для яких вектор колінеарний вектору , тобто, виконується рівність:[3]

Таким чином, довільна пряма в просторі має властивості афінного простору розмірності 1.

Властивості[ред.ред. код]

Пряма паралельна площині тоді та лише тоді, коли в цій площині існує деяка пряма паралельна прямій .[4]

Якщо пряма паралельна кожній з площин та що перетинаються, то вона паралельна лінії їхнього перетину.[4]

Якщо три площини попарно перетинаються та не мають спільної прямої, то лінії їхнього перетину або паралельні або мають спільну точку.[4]

Примітки[ред.ред. код]

  1. (Постников, с. 176)
  2. Кудрявцев Л. Д.. Математичний аналіз, т. 1. с. 264. 
  3. Постников М. М. (1979). Аналитическая геометрия. «Наука». 
  4. а б в Я. П. Понарин (2006). Элементарная Геометрия. т.2. ISBN 5-94057-223-5. 

Див. також[ред.ред. код]


Сигма Це незавершена стаття з математики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.