Прямокутний трикутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Rtriangle.svg

Прямокутний трикутник — трикутник, один із кутів якого прямий. Прямокутний трикутник займає особливе місце в планіметрії, оскільки для нього існують прості співвідношення між сторонами і кутами.

Сторони прямокутного трикутника мають власні назви. Дві сторони, що утворюють прямий кут називаються катетами, а третя сторона — гіпотенузою. Традиційно катети позначаються літерами a та b, а гіпотенуза — літерою c. За теоремою Піфагора можна знайти будь-яку сторону пямокутного трикутника, якщо відомі дві інші сторони. За цією теоремою квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

 AB^2=AC^2+BC^2

Звідси можна знайти інші сторони прямокутного трикутника.

 AC^2=AB^2-BC^2
 BC^2=AB^2-AC^2

Катети є водночас висотами прямокутного трикутника. Тому площа прямокутного трикутника дорівнює:

 S = \frac{1}{2} ab .

Властивості прямокутних трикутників[ред.ред. код]

  1. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°.
  2. Якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то катет протилежній цьому куту буде дорівнювати половині гіпотенузі.
  3. Медіана, падаюча на гіпотенузу прямокутного трикутника, ділить його на два рівнобедрених трикутника, оскільки медіана дорівнює половині гіпотенузи.
  4. Якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром кола.

Ознаки рівності прямокутних трикутників[ред.ред. код]

У прямокутного трикутника є чотири ознаки рівності:

  • За двома катетами.

Якщо катети одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катетам другого трикутника, то такі трикутники рівні.

  • За катетом і гострим кутом.

Якщо катет і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно катету й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.

  • За гіпотенузою і катетом.

Якщо гіпотенуза і катет одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й катету другого трикутника, то такі трикутники рівні.

  • За гіпотенузою і гострим кутом.

Якщо гіпотенуза і гострий кут одного прямокутного трикутника дорівнюють відповідно гіпотенузі й гострому куту другого трикутника, то такі трикутники рівні.

Тригонометрія у прямому трикутнику[ред.ред. код]

Тригонометричні функції для гострих кутів можна визначити як відношення сторін прямокутного трикутника. Для будь-якого даного кута можна побудувати прямокутний трикутник, що містить такий кут, і зі сторонами: протилежним катетом, прилеглим катетом і гіпотенузою, пов'язаними з цим кутом певним співвідношенням. Ці відносини сторін не залежать від конкретного обраного прямокутного трикутника, а залежать тільки від заданого кута, так як всі трикутники, побудовані таким чином, є подібними.

  • Синусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до гіпотенузи.
  • Косинусом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до гіпотенузи.
  • Тангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення протилежного катета до прилеглого катета.
  • Котангенсом гострого кута прямокутного трикутника називається відношення прилеглого катета до протилежного катета.

Розглянемо у формальних позначених через малюнок вище.

\sin A = \frac {a} {c}\,, звідси a = c \sin A, c = \frac {a} {\sin A}\,.
\cos A = \frac {b} {c}\,, звідси b = c \cos A, c = \frac {b} {\cos A}\,.
\mbox{tg}~ A = \frac {a} {b}\,, звідси a = b \mbox{tg}~ A, b = \frac {a} {\mbox{tg}~ A}\,.
\mbox{ctg}~ A = \frac {b} {a}\,, звідси b = a \mbox{ctg}~ A, a = \frac {b} {\mbox{ctg}~ A}\,.

Звідси можна зробити висновок, що:

  • Щоб знайти катет, протилежний до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на синус цього кута, або прилеглий катет помножити на тангенс цього кута.
  • Щоб знайти катет, прилеглий до гострого кута прямокутного трикутника, потрібно гіпотенузу помножити на косинус цього кута, або протилежний катет помножити на котангенс цього кута.
  • Щоб знайти гіпотенузу, потрібно катет, прилеглий до гострого кута, поділити на косинус цього кута, або катет, протилежний до гострого кута, поділити на синус цього кута.

Вписане й описане коло прямокутного трикутнику[ред.ред. код]

Описане коло[ред.ред. код]

Центром кола, описаного навколо прямокутного трикутника, є середина гіпотенузи. Нехай O — центр описаного кола навколо прямокутного Trianglen.svg ABC:

AO=OC= \frac {1} {2}AC=R

Вписане коло[ред.ред. код]

У прямокутний трикутник Trianglen.svg ABC з прямим кутом \angle \text{C} вписане коло, яке дотикається до катетів у точках K і N. Відрізки KC і NC дорівнюють радіусу кола.

Радіус вписаного кола у прямокутний трикутник з катетами a і b і гіпотенузою c знаходиться по формулі:

r= \frac {a+b-c} {2}

Джерела[ред.ред. код]

  • Г. П. Бевз. Геометрія трикутника. — Київ: Генеза, 2005, ISBN 966-504-431-1
  • О. М. Роганін, О. І. Каплун. Математика. — Харків: Весна, 2009, ISBN 978-966-8896-77-4
  • М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. Геометрія 7 клас. — Україна: Зодіак-ЕКО, 2007, ISBN 978-966-7090-45-6

Див. також[ред.ред. код]