Прямокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Прямокутник
Rectangle Geometry Vector.svg
Прямокутник
Вид чотирикутник, паралелограм, ортотоп[en]
Ребра і вершини 4
Символ Шлефлі { } × { }
Діаграма Коксетера CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Група симетрії[en] Дієдральна (D2), [2], (*22), порядок 4
Дуальний багатокутник[en] Ромб
Властивості опуклий, ізогональний, вписується в коло Протилежні кути та сторони конгруентні

Прямоку́тник — це чотирикутник, усі кути якого прямі[1]. Протилежні сторони прямокутника рівні. Є окремим випадком паралелограма[1]. Також його можна визначити як чотирикутник із чотирма однаковими кутами, оскільки це означатиме, що всі його кути будуть прямими (360°/4 = 90°). Також це паралелограм, який має прямий кут (а отже, всі кути прямі). Прямокутник, в якого всі чотири сторони мають однакову довжину, називають квадратом.

Довшу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротшу — шириною прямокутника.

Схрещеним прямокутником є прямокутник, який перетинає сам себе, дві протилежні сторони якого збігаються із його двома діагоналями.[2] Він є особливим випадком антипаралелограма, а його кути не є прямими.

Класифікація[ред. | ред. код]

Традиційна ієрархія[ред. | ред. код]

Прямокутник є особливим випадком паралелограма, в якому кожна пара прилеглих сторін перпендикулярні.

Паралелограм є особливим різновидом трапеції в якого обидві пари протилежних сторін паралельні і мають однакову довжину.

Трапеція в свою чергу, це опуклий чотирикутник, який має принаймні одну пару паралельних протилежних сторін.

Опуклий чотирикутник може бути

  • Простим: Сторони не перетинаються.
  • Зіркоподібним: Всі точки чотирикутника видно з точки в середині, без перетину жодної сторони.

Альтернативна ієрархія[ред. | ред. код]

Альтернативним чином прямокутник можна визначити, як такий чотирикутник, що має вісі симетрії, через кожну пару протилежних сторін.[3] Це визначення стосується як прямокутників із прямими кутами, так і схрещених прямокутників.

Характеристики[ред. | ред. код]

Опуклий чотирикутник буде вважатися прямокутником тоді й лише тоді коли виконується принаймні одне із наступних тверджень:[4][5]

Властивості[ред. | ред. код]

Основні властивості прямокутника[6]:

  • Діагоналі прямокутника рівні.
  • Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
  • Діагоналі прямокутника ділять його на два рівні трикутники.
  • Висоти прямокутника є одночасно і його сторонами.
  • Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло, причому діагональ прямокутника дорівнює діаметру даного кола.
  • Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його не протилежних сторін.

Прямокутник є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є прямокутний паралелепіпед.

Формули[ред. | ред. код]

Формула для визначення периметра прямокутника

Якщо прямокутник має довжину і ширину

  • він матиме площу ,
  • він матиме периметр ,
  • довжина кожної діагоналі дорівнюватиме ,
  • якщо , прямокутник є квадратом.

Теореми[ред. | ред. код]

Ізопериметрична нерівність для прямокутників доводить, що серед усіх прямокутників із заданим периметром, квадрат матиме найбільшу площу.

Лінії проведені через середні точки сторін будь-якого чотирикутника із перпендикулярними діагоналями утворюють прямокутник.

Паралелограм із рівними за довжиною діагоналями є прямокутником.

Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник[7] говорить, що центри вписаних кіл чотирьох трикутників, які задані вписаним у інше коло чотирикутником утворюють прямокутник.

Теорема про Британський прапор[en] стверджує, що якщо вершини прямокутника позначені як A, B, C, і D, для будь-якої точки P в тій самій площині в середині прямокутника буде виконуватися рівність:[8]

Схрещені прямокутники[ред. | ред. код]

Схрещений прямокутник (такий, що перетинає сам себе) складається із двох протилежних сторін звичайного прямокутника і двох діагоналей. Схрещений прямокутник, так само, є різновидом схрещеного чотирикутника. Він має той самий порядок вершин[en]. Він представлений двома ідентичними трикутниками із спільною вершиною, але геометричний перетин не розглядається як вершина.

Схрещений чотирикутник іноді асоціюють із краваткою-метеликом або формою метелика. Тривимірну прямокутну каркасну конструкцію із дроту можна скрутити таким чином, що вона прийме форму метелика. Схрещений прямокутник іноді називають "кутовою вісімкою".

Внутрішня частина схрещеного прямокутника може мати полігональну густину[en], що дорівнює ±1 для кожного трикутника, в залежності від того як закручено цей прямокутник, за годинниковою стрілкою чи проти.

Схрещений прямокутник не є рівнокутним. Сума його внутрішніх кутів (двох гострих і двох розгорнутих кутів), як і в будь-якого схрещеного прямокутника, дорівнює 720°.[9]

Прямокутник і схрещений прямокутник є чотирикутниками, що мають наступні спільні властивості:

  • Протилежні сторони мають однакову довжину.
  • Дві діагоналі мають однакову довжину.
  • Він має дві прямі, що визначають дзеркальну симетрію і обертову симетрію порядку 2 (через 180°).

Crossed rectangles.png

Інші види прямокутників[ред. | ред. код]

Сідловий прямокутник має 4 не планарні вершини і утворений частковим усіканням[en] із вершин прямокутного паралелепіпеда, що є єдиною внутрішньою мінімальною поверхнею, яка визначається як лінійна комбінація чотирьох вершин. На малюнку показано синім показано 4 ребра прямокутника, і дві діагоналі зеленим, всі вони є діагоналями прямокутних граней паралелепіпеда.

У сферичній геометрії, сферичним прямокутником називають фігуру із чотирма ребрами, які є дугами великого кола, які утворюють однакові кути більші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину. Сферична геометрія є найпростішою формою еліптичної геометрії. Поверхня сфери в Евклідовій геометрії є не Евклідовою поверхнею в розумінні еліптичної геометрії.

В еліптичній геометрії[en], еліптичним прямокутником є фігура у еліптичній площині, чотири ребра якої є еліптичними дугами, які також утворюють однакові кути більші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину.

В гіперболічній геометрії, гіперболічним прямокутником є фігура в гіперболічній площині, чотири ребра якої є гіперболічними дугами, які утворюють між собою однакові кути менші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. а б Прямоугольник / Большая советская энциклопедия. Главн. ред. А. М. Прохоров, 3-е изд. Тома 1-30. — М.: «Советская энциклопедия», 1969–1978. (рос.)
  2. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 401–450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
  3. An Extended Classification of Quadrilaterals (An excerpt from De Villiers, M. 1996. Some Adventures in Euclidean Geometry. University of Durban-Westville.)
  4. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, «The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition», Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
  5. Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19 August 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. с. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2. Процитовано 2011-11-13. 
  6. Прямокутник. Формули та властивості прямокутника
  7. Cyclic Quadrilateral Incentre-Rectangle with interactive animation illustrating a rectangle that becomes a 'crossed rectangle', making a good case for regarding a 'crossed rectangle' as a type of rectangle.
  8. Hall, Leon M. & Robert P. Roe (1998). An Unexpected Maximum in a Family of Rectangles. Mathematics Magazine 71 (4): 285–291. JSTOR 2690700. 
  9. Stars: A Second Look. (PDF). Retrieved 2011-11-13.