Прямокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Jump to navigation Jump to search
Прямокутник
Rectangle Geometry Vector.svgПрямокутник
Вид чотирикутник, паралелограм, ортотоп[en]
Ребра і вершини 4
Символ Шлефлі { } × { }
Діаграма Коксетера CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node 1.png
Група симетрії[en] Дієдральна (D2), [2], (*22), порядок 4
Дуальний багатокутник[en] Ромб
Властивості опуклий, ізогональний, вписується в коло Протилежні кути та сторони конгруентні

Прямоку́тник — це чотирикутник, усі кути якого прямі[1]. Протилежні сторони прямокутника рівні. Є окремим випадком паралелограма[1]. Також його можна визначити як чотирикутник із чотирма однаковими кутами, оскільки це означатиме, що всі його кути будуть прямими (360°/4 = 90°). Також це паралелограм, який має прямий кут (а отже, всі кути прямі). Прямокутник, в якого всі чотири сторони мають однакову довжину, називають квадратом.

Довшу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротшу — шириною прямокутника.

Схрещеним прямокутником є прямокутник, який перетинає сам себе, дві протилежні сторони якого збігаються із його двома діагоналями.[2] Він є особливим випадком антипаралелограма, а його кути не є прямими.

Характеристики[ред.ред. код]

Опуклий чотирикутник буде вважатися прямокутником тоді й лише тоді коли виконується принаймні одне із наступних тверджень:[3][4]

Властивості[ред.ред. код]

Основні властивості прямокутника[5]:

  • Діагоналі прямокутника рівні.
  • Діагоналі прямокутника перетинаються і точкою перетину діляться навпіл.
  • Діагоналі прямокутника ділять його на два рівні трикутники.
  • Висоти прямокутника є одночасно і його сторонами.
  • Навколо будь-якого прямокутника можна описати коло, причому діагональ прямокутника дорівнює діаметру даного кола.
  • Квадрат діагоналі прямокутника дорівнює сумі квадратів двох його не протилежних сторін.

Прямокутник є плоскою геометричною фігурою, його аналогом у тривимірному просторі є прямокутний паралелепіпед.

Формули[ред.ред. код]

Формула для визначення периметра прямокутника

Якщо прямокутник має довжину і ширину

  • він матиме площу ,
  • він матиме периметр ,
  • довжина кожної діагоналі дорівнюватиме ,
  • якщо , прямокутник є квадратом.

Теореми[ред.ред. код]

Ізопериметрична нерівність для прямокутників доводить, що серед усіх прямокутників із заданим периметром, квадрат матиме найбільшу площу.

Лінії проведені через середні точки сторін будь-якого чотирикутника із перпендикулярними діагоналями утворюють прямокутник.

Паралелограм із рівними за довжиною діагоналями є прямокутником.

Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник[6] говорить, що центри вписаних кіл чотирьох трикутників, які задані вписаним у інше коло чотирикутником утворюють прямокутник.

Теорема про Британський прапор[en] стверджує, що якщо вершини прямокутника позначені як A, B, C, і D, для будь-якої точки P в тій самій площині в середині прямокутника буде виконуватися рівність:[7]

Інші види прямокутників[ред.ред. код]

Сідловий прямокутник має 4 не планарні вершини і утворений частковим усіканням[en] із вершин прямокутного паралелепіпеда, що є єдиною внутрішньою мінімальною поверхнею, яка визначається як лінійна комбінація чотирьох вершин. На малюнку показано синім показано 4 ребра прямокутника, і дві діагоналі зеленим, всі вони є діагоналями прямокутних граней паралелепіпеда.

У сферичній геометрії, сферичним прямокутником називають фігуру із чотирма ребрами, які є дугами великого кола, які утворюють однакові кути більші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину. Сферична геометрія є найпростішою формою еліптичної геометрії. Поверхня сфери в Евклідовій геометрії є не Евклідовою поверхнею в розумінні еліптичної геометрії.

В еліптичній геометрії[en], еліптичним прямокутником є фігура у еліптичній площині, чотири ребра якої є еліптичними дугами, які також утворюють однакові кути більші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину.

В гіперболічній геометрії, гіперболічним прямокутником є фігура в гіперболічній площині, чотири ребра якої є гіперболічними дугами, які утворюють між собою однакові кути менші за 90°. Протилежні дуги мають однакову довжину.

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. а б Прямоугольник / Большая советская энциклопедия. Главн. ред. А. М. Прохоров, 3-е изд. Тома 1-30. — М.: «Советская энциклопедия», 1969–1978. (рос.)
  2. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M.S.; Miller, J.C.P. (1954). Uniform polyhedra. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 401–450. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. doi:10.1098/rsta.1954.0003. 
  3. Zalman Usiskin and Jennifer Griffin, "The Classification of Quadrilaterals. A Study of Definition", Information Age Publishing, 2008, pp. 34–36 ISBN 1-59311-695-0.
  4. Owen Byer; Felix Lazebnik; Deirdre L. Smeltzer (19 August 2010). Methods for Euclidean Geometry. MAA. с. 53–. ISBN 978-0-88385-763-2. Процитовано 2011-11-13. 
  5. Прямокутник. Формули та властивості прямокутника
  6. Cyclic Quadrilateral Incentre-Rectangle with interactive animation illustrating a rectangle that becomes a 'crossed rectangle', making a good case for regarding a 'crossed rectangle' as a type of rectangle.
  7. Hall, Leon M. & Robert P. Roe (1998). An Unexpected Maximum in a Family of Rectangles. Mathematics Magazine 71 (4): 285–291. JSTOR 2690700.