Псевдометричний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В математиці, псевдометричний простір є узагальненням метричного простору у якому відстань між двома різними точками може бути рівною нулю. Кожен напівнормований простір є псевдометричним простором аналогічно як нормований простір є метричним.

Означення[ред. | ред. код]

Псевдометричним простором називається множина разом із невід'ємною дійснозначною функцією (що називається псевдометрикою), такою що, для усіх точок ,

  1. .
  2. (симетричність)
  3. (нерівність трикутника)

На відміну від метричних просторів, можливі випадки коли для різних точок .

Приклади[ред. | ред. код]

  • На будь-якій множині можна ввести нульову псевдометрику для якої для всіх . Ця псевдометрика породжує антидискретну топологію.
  • Псевдометрики часто виникають у функціональному аналізі. Розглянемо простір дійснозначних функцій разом із виділеною точкою . Тоді на просторі функцій можна ввести псевдометрику
для
Навпаки, однорідна, інваріантна щодо перенесень псевдометрика породжує напівнорму.
для всіх , де позначає симетричну різницю множин.
  • якщо є функцією і d2 — псевдометрика на X2, то є псевдометрикою на X1. Якщо d2 є метрика і f є ін'єктивною, тоді d1 є метрикою.
  • Якщо є псевдометриками на то і довільна скінченна сума і також будуть псевдометриками на .

Топологія[ред. | ред. код]

Псевдометричною топологією називається топологія породжена відкритими кулями у псевдометриці:

які утворюють базу топології. Топологічний простір називається псевдометризовним якщо для нього існує псевдометрика топологія якої збігається з заданою топологією простору.

Псевдометрика є метрикою якщо і тільки якщо її топологія задовольняє аксіому T0.

Псевдометризовна топологія є цілком регулярною, але не обов'язково гаусдорфовою: одноточкові множини можуть бути незамкнутими. Кожна цілком регулярна топологія може бути задана сім'єю псевдометрик як структурне об'єднання породжених ними топологій. Аналогічно, сім'ї псевдометрик використовуються для означення, опису і дослідження рівномірних структур.

Псевдометричний простір є нормальним і задовольняє першій аксіомі зліченності. Друга аксіома зліченності виконується в тому і тільки в тому випадку, коли цей простір є сепарабельним.

Метрична ідентифікація[ред. | ред. код]

Псевдометрика задає відношення еквівалентності, що називається метричною ідентифікацією і для якого фактормножина є метричним простором. У цьому відношенні якщо . Нехай — факторпростір X для цього відношення еквівалентності. Введемо функцію[1][2]

Тоді є метрикою на і є метричним простором, що називається метричним простором породженим псевдометричним простором .

Функція є добре означеною, тобто не залежить від представників класу еквівалентності. Справді нехай і , тобто і . Тоді з нерівності трикутника і симетрії . Симетрично також і тому . Те, що задовольняє аксіоми метрики одразу випливає з того, що задовольняє аксіоми псевдометрики.

Множина є відкритою у якщо і тільки якщо є відкритою у і .

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Howes, Norman R. (1995). Modern Analysis and Topology. New York, NY: Springer. с. 27. ISBN 0-387-97986-7. Процитовано 10 September 2012. 
  2. Simon, Barry (2015). A comprehensive course in analysis. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 1470410990. 

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Келли Дж., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., Москва, 1981