Псевдообернена матриця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Псевдообернена матриця — узагальнення оберненої матриці в математиці, зокрема, в лінійній алгебрі.

Матриця, псевдообернена до матриці позначаєтся як .

Найвідомішим є псевдообернення Мура-Пенроуза, яке було незалежно описано Е. Х. Муром (Moore) в 1920 і Роджером Пенроузом в 1955.

Раніше, в 1903 році, концепцію псевдообернених інтегруючих операторів представив Фредгольм.

Псевдообернена матриця застосовується для знаходження найкращого наближення (методом найменших квадратів) розв'язку СЛАР.

Визначення[ред.ред. код]

Визначення Мура[ред.ред. код]

називаєтся псевдооберненою матрицею до матриці , якщо вона задовільняє такі критерії:

  1.              ( чи не обов'язково дорівнюватимуть одиничній матриці);
  2.       (це означає, що ермітова матриця);
  3.       ( — також ермітова матриця);

де - ермітово-спряжена матриця до матриці .

Визначення Мура-Пенроуза через граничний перехід[ред.ред. код]

Ці границі існують, навіть якщо і не комутують.

Властивості[ред.ред. код]

.
  • Псевдообернення добутку матриці на скаляр дорівнює добутку матриці на обернене число :
.
  • Якщо вже відома матриця чи матриця , то їх можна використати для обчислення :
.
  • Матриці — є ортогонально-проекційними матрицями.
  • Якщо матриця утворена з матриці за допомогою вставки ще одного нульового рядка/стовпця в і-ту позицію,
то буде утворюватись з добавленням нульового стовпця/рядка в і-ту позицію.
  • Якщо рядок/стовпець в попередній процедурі не є нульовим , то існує формула Гревіля для вираження через

Часткові випадки[ред.ред. код]

Ортонормовані стовпці чи рядки[ред.ред. код]

  • Якщо в матриці ортонормовані стовпці (), або рядки (), то:
.

Повний ранг[ред.ред. код]

  • Якщо стовпці матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

Отже , звідки слідує, що — ліва обернена матриця для A.

  • Якщо рядки матриці лінійно незалежні, тоді матриця має повний ранг, а отже є оборотною. Тоді:

Отже , звідки слідує, що — права обернена матриця для A.

  • Якщо і стовпці і рядки лінійно незалежні (що вірно для квадратних невирождених матриць), тоді:

Ці часткові випадки еквівалентні прибиранню доданка з формули визначення псевдообернення через граничний перехід.

Псевдообернення добутку[ред.ред. код]

Якщо матриці і такі, что добуток визначений, а також:

  • або A має ортонормовані стовпці (),
  • або B має ортонормовані рядки (),
  • або стовці линійно незалежні() і рядки линійно незалежні().

Тоді:

.

Доводиться прямою підстановкою в визначення.

Скаляри і вектори[ред.ред. код]

Псевдообернення можна визначити для скалярів і векторів, якщо трактувати їх як матриці:

  • Псевдообернення скаляра є скаляр
  • Псевдообернення вектора є вектор

Дані трактування задовільняють визначення псевдообернення.

Обчислення[ред.ред. код]

За допомогою A=BC розкладу[ред.ред. код]

Нехай rранг матриці A розміру . Тоді A може бути представлена як , де B — матриця розміру , C — матриця розміру . Тоді

чи

де — матриця меншого розміру .

За допомогою QR розкладу[ред.ред. код]

Матрицю A представимо у вигляді , де Q - унітарна матриця, , і R - верхня трикутна матриця. Тоді

,

За допомогою SVD розкладу[ред.ред. код]

Якщо сингулярне представлення матриці A, тоді

Для діагональної матриці, такої як , псевдообернена матриця обчислюється заміною всіх ненульових значень діагональних елементів на обернені.

За допомогою мінорів[ред.ред. код]

Нехай k - ранг матриці A розміру .

Позначимо через матрицю складену з k лінійно незалежних стовпців матриці A,
через позначимо матрицю з k лінійно незалежних рядків матриці A,
через матрицю з елементів на перетині з .

Тоді

Застосування до СЛАР[ред.ред. код]

  • Система рівнянь може не мати точних розв'язків, але можна знайти приблизні розв'язки — такі при яких мінімізується Це розв'язок методом найменших квадратів.
  • Загальний розв'язок системи є сумою часткового розв'язку цієї системи та загального розв'язку однорідної системи

де:

     (проектор на );
— довільний вектор тієї ж розмірності що і
  • Частковим розв'язком неоднорідної системи є він ортогональний до і тому має найменшу норму серед всіх розв'язків.
  • Загальний розвязок
єдиний розв'язок
множина розв'язків
точні розв'язки є
тільки приблизні розв'язки
  • Відстань від довільної точки до множини розв'язків рівна:

де:

     (проектор ортогональний до ).

Джерела[ред.ред. код]

  • Гантмахер Ф. Р. (1967). III. Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576 с. 
  • Adi Ben-Israel, Thomas N.E. Greville (2003). Generalized Inverses. Theory and Applications (вид. друге). Springer. с. 436 с.