Псевдоріманів многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Псевдорімановий многовид  — многовид, в якому визначений метричний тензор (квадратична форма), що є невиродженим в кожній точці, але, на відміну від випадку ріманових многовидів, не обов'язково додатноозначеним. Зазвичай передбачається, що сигнатура метрики постійна (у разі зв'язаного многовида це автоматично випливає з умови невиродженості).

Означення[ред.ред. код]

Нехай  — диференційовний многовид розмірності і для кожної точки дотичний простір в цій точці позначається .

Многовид називається псевдорімановим, якщо задано відображення (метричний тензор) який присвоює дійсне число кожній парі векторів з деякого дотичного простору і задовольняє властивостям:

Для виконуються умови

  • — симетричність
  • білінійність;
  • Якщо для деякого для всіх справедливо то
  • Для довільних гладких векторних полів є гладкою функцією на многовиді

Єдиною відмінністю від визначення ріманового многовиду є відсутність умови додатноозначеності. Тому якщо для ріманових многовидів дотичні простори набувають структуру евклідового простору, для псевдоріманових многовидів дотичні простори є лише псевдоевклідовими.

Сигнатура[ред.ред. код]

Для метричного тензора g на n-вимірному дійсному многовиді, квадратична форма q(x) = g(X, X) пов'язана з метричним тензором для елементів кожного ортогонального базису визначає n дійсних чисел. Згідно закону інерції Сильвестра , кількість додатних, від'ємних і нульових значень не залежить від вибору ортогонального базису. Для невиродженого метричного тензора нульових значень немає і сигнатура визначена як (p, q), де p + q = n. Сигнатура не змінюється в усіх точках будь-якої компоненти зв'язності многовида.

Приклади[ред.ред. код]

  • Псевдоевклідів простір є найпростішим прикладом псевдоріманового многовида.
  • Ріманів многовид — окремий випадок псевдоріманового. Він є псевдорімановим многовидом сигнатури (n, 0)
    • Псевдоріманові многовиди, які не є рімановими, іноді називають власне псевдорімановим.
  • Псевдорімановий многовид сигнатури (1, n) або (n, 1) називається многовид Лоренца. Вони є основним об'єктом загальної теорії відносності.

Геометрія псевдоріманових просторів[ред.ред. код]

В локальних координатах метричний тензор може бути записаний як На многовиді однозначно визначена зв'язність Леві-Чивіти і тензор кривини.

Довжина кривої визначається за формулою:

Вона може бути дійсною, уявною або рівною нулю (Ізотропна крива). Геодезичні лінії в псевдоріманових просторах навіть в малих своїх частинах втрачають екстремальні властивості, залишаючись лініями стаціонарної довжини. Довжина деякої дуги може бути більшою або меншою довжини геодезичної лінії, що з'єднує кінці дуги.

У випадку простору сигнатури (1, n), відрізок геодезичної лінії дійсної довжини дає найбільшу відстань між кінцевими точками (у припущенні, що дугу геодезичної лінії можна вкласти в напівгеодезичну координатну систему у вигляді координатної лінії і що для порівняння беруться гладкі криві дійсної довжини з області, де є визначеною ця координатна система).

У разі, коли розглядається псевдоевклідів простір сигнатури (1, n) можна будь-яку пряму дійсної довжини прийняти за вісь ортонормованої координатної системи, в якій скалярний квадрат вектора має вигляд:

Тут будь-який прямолінійний відрізок дійсної довжини (уздовж осі ) буде визначати найдовшу відстань між точками, які є його кінцями.

У разі многовида сигнатури (n, 1) відрізок геодезичної лінії уявної довжини буде мати більшу довжину в порівнянні з іншими гладкими кривими уявної довжини, кінці яких збігаються з кінцями геодезичного відрізка.

На відміну від ріманових многовидів на власне псевдоріманових многовидах не можливо ввести природну структуру метричного простору, оскільки існують різні точки, відстань між якими дорівнює нулю.

В псевдорімановому многовиді визначається секційна кривина, вона може бути інтерпретована як кривина геодезичної (неізотропної) 2-поверхні, проведеної в даній точці в даному двовимірному напрямку. Якщо значення секційної кривини в кожній точці одне і те ж за всіма двовимірними напрямками, то воно є постійним у всіх точках (теорема Шура) і псевдорімановий многовид в цьому випадку називається псевдорімановим многовидом сталої кривини.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]