Псевдосфера

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Напів-псевдосфера

Псевдосфера (від «псевдо»… і грецького — куля) — поверхня сталої від'ємної кривини. Утворюється обертанням трактриси навколо її асимптоти. Для достатньо малих частин псевдосфери, які не мають особливих точок, виконуються співвідношення геометрії Лобачевського. Це відкриття Еудженіо Бельтрамі у 1868 відіграло важливу роль у розвитку неевклідових геометрій, бо дало змогу переконатись у реальності геометрії Лобачевського. Назва несправжня сфера підкреслює схожість і відмінність між псевдосферою і сферою, яка є поверхнею сталої додатної кривини.

Теоретична псевдосфера[ред.ред. код]

У загальній інтерпретації, псевдосфера радіусу R — це будь яка поверхня кривини −1/R2, за аналогією зі сферою радіусу R, для якої поверхня кривини є 1/R2.

Термін був запропонований Еудженіо Бельтрамі у його праці 1868 року про моделі геометрії Лобачевського.[1]

Трактрисоїд[ред.ред. код]

Трактрисоїд

Термін також використовується до певної поверхні, яка має назву трактрисоїд і є результатом обертання трактриси довкола її асимптоти. Наприклад, напів-псевдосфера (з радіусом 1) є поверхнею обертання трактриси, обмеженої параметрами[2]:

Ще 1693 року Християн Гюйгенс зясував, що об'єм та площа поверхні псевдосфери є скінченними[3], незважаючи на нескінченність протяжності поверхні вздовж осі обертання. Для заданого радіусу R, площа поверхні буде 4πR2, так само як і для сфери, а об'єм 23πR3, тобто половина сфери з таким самим радіусом[4][5].

Примітки[ред.ред. код]

  1. Beltrami, Eugenio (1868). Saggio sulla interpretazione della geometria non euclidea. Gior. Mat. (Italian) 6: 248–312. 
    (Також Beltrami, Eugenio. Opere Matematiche (Italian) 1. с. 374–405. ISBN 1-4181-8434-9. ;
    Beltrami, Eugenio (1869). Essai d'interprétation de la géométrie noneuclidéenne. Annales de l'École Normale Supérieure (French) 6: 251–288. )
  2. Bonahon, Francis (2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. с. 108. ISBN 0-8218-4816-X. , Chapter 5, page 108
  3. Mangasarian, Olvi L.; Pang, Jong-Shi (1999). Computational optimization: a tribute to Olvi Mangasarian, Volume 1. Springer. с. 324. ISBN 0-7923-8480-6. , Chapter 17, page 324
  4. Le Lionnais, F. (2004). Great Currents of Mathematical Thought, Vol. II: Mathematics in the Arts and Sciences (вид. 2). Courier Dover Publications. с. 154. ISBN 0-486-49579-5. , Chapter 40, page 154
  5. Weisstein, Eric W. Pseudosphere(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Джерела[ред.ред. код]