Підгрупа кручення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Підгрупа крученняпідгрупа елементів скінченного порядку абелевої групи. Підгрупа кручення абелевої групи A позначається \operatorname{Tor}\,A.

Підгрупою p-кручення \operatorname{Tor}_p\,A називається множина всіх елементів порядок яких рівний деякому степеню простого числа p. Підгрупи кручення і p-кручення групи визначені однозначно. Якщо усі елементи групи мають скінченний порядок то група називається періодичною. Якщо єдиним елементом скінченного порядку є нульовий елемент то група називається групою без кручень.

Властивості і приклади[ред.ред. код]

  • Група кручення може бути розкладеною в суму підгруп p-кручення для простих чисел p:
A_T=\bigoplus_{p\in P} A_{T_p}.\;
A \simeq \Z^n \oplus \operatorname{Tor}\,A \simeq 
\Z^n \oplus \bigoplus\limits_i \operatorname{Tor}_{p_i}\,A
де p_i — прості числа.
  • Факторгрупа A/\operatorname{Tor}\,A є групою без кручень.
  • Вимога комутативності групи є важливою, оскільки для неабелевих груп, множина елементів скінченного порядку може не бути групою. Наприклад у групі заданій наступним співвідношенням:
< x, y | x² = y² = 1 >
елементи x і y мають порядок 2, проте елементи xy і yx мають нескінченні порядки.
  • Довільна скінченна абелева група є групою кручення. Зворотне твердження не є вірним.

Література[ред.ред. код]