Піднесення до степеня

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Результати обчислення
Додавання (+)
1-й доданок + 2-й доданок = сума
Віднімання (−)
зменшуваневід'ємник = різниця
Множення (×)
1-й множник × 2-й множник = добуток
Ділення (÷)
ділене ÷ дільник = частка
Ділення з остачею (mod)
ділене mod дільник = остача
Піднесення до степеня
основа степеняпоказник степеня = степінь
Обчислення кореня (√)
показник кореня підкореневий вираз = корінь
Логарифм (log)
logоснова(число) = логарифм
Графік функції y = bx для різних значень основи b: для 10 (зеленим), для основи e (червоним), для 2 (синім), і 12 (блакитним). Кожна крива проходить через точку (0, 1) оскільки, будь-яке число піднесене до степеня 0 дасть значення 1. При x = 1, значення y дорівнює основі, оскільки будь-яке число піднесене до степеня 1 є самим числом.

Підне́сення до сте́пеня — бінарна операція, записується як для основи степеня та показника степеня в результаті застосування отримується степінь.[1]

Якщо nнатуральне число, піднесення до степеня відповідає n-кратному множенню:

Подібно до того, як множення на ціле число відповідає багатократному додаванню:

.

Другий степінь називають інакше квадратом, третій степінь — кубом. Першим степенем числа називають саме число, наприклад 71 = 7*.

Історія[ред.ред. код]

Поняття степені використовувалося давньогрецьким математиком Евклідом для дослідження квадрату прямої.[2] Архімед відкрив і довів закон для степенів — 10a 10b = 10a+b, необхідний аби оперувати степенями числа 10.[3] В 9-му столітті, перський математик Аль-Хорезмі використовував терміни мал для квадрата і кахб для куба, які згодом ісламські математики представляли у вигляді математичної нотації як m і k, відповідно, як видно із роботи Аль Каласаді[en] до 15-го століття,.[4]

В кінці 16-го століття, Йост Бургі[en] для степенів використовував римські літери.[5]

На початку 17-го століття, перша форма сучасного позначення степеня була запропонована Рене Декартом у своїй праці під назвою La Géométrie[ru]; де, у книзі I і було введено відповідні позначення.[6]

Деякі математики (наприклад, Ісаак Ньютон) використовували експоненти лише для степенів, що більші за двійку, для позначення квадрату вони віддавали перевагу використовувати множення із повторенням. Таким чином вони б записали поліноми, наприклад, як ax + bxx + cx3 + d.

Ніколас Шуке[en] використовував форму показникового запису в 15-му столітті, яку згодом використали Геріх Грамматеус[en] і Михаель Штифель у 16-му столітті. Слово «експонента» виникло в 1544 завдяки Михаелю Штифелю.[7] В 16-му столітті Роберт Рекорд використовував термін квадрат, куб, дзензизензик (четверта степінь), сурсолід (п'ята), дзензікуб (шоста), другий сурсолід (сьома), і дзензизензензик (восьма).[8] Також для назви четвертого степеня використовували слово біквадрат.

Інший синонім, що існував в історії, інволюція,[9] зараз є рідким і його не варто плутати із більш загальним значенням цього слова.

В 1748 Леонард Ейлер написав «розглянемо експоненти або степені в яких сама експонента (показник) є змінною. Очевидно, що величини такого типу не є алгебраїчними функціями, оскільки в них показних мав би бути константою.»[10] Із цим введенням у трансцендентні функції, Ейлер заклав початок сучасному введенню в натуральний логарифм, що є оберненою функцією для y = ex.

Для цілих показників[ред.ред. код]

Нульовий показник[ред.ред. код]

При піднесені до степеня 0 будь-якого ненульового числа результатом буде 1[11]:

Однією з інтерпретацій для пояснення такого випадку є уявлення про пустий добуток[en].

Більш спірним випадком є випадок 00 - нуль в степені нуль[en].

Від'ємні показники[ред.ред. код]

Наступне рівняння є справедливим для будь-якого довільного цілого числа n і не нульового x:

Піднесення числа 0 до від'ємного показника степеня вважають або не визначеним, або визначеним як нескінченність .

Приведена вище рівність може бути доведена із визначення, якщо продовжити значення показника у негативну область цілих чисел.

Для не нульових значень x і додатних n, рекурентна рівність записана зверху може бути представлена як

Із визначення, що це рівняння є правдивим для всіх цілих чисел n і ненульових x, випливає що

і в більш загальній формі для будь-якого ненульового x і будь-яких невід'ємних цілих n,

Видно, що це є вірним для всіх цілих чисел n.

Комбінаторна інтерпретація[ред.ред. код]

Для невід'ємних цілих n і m, степінь nm є числом функцій із множини з m елементів у множину з n елементів (див. кардинальне експонування). Така функція може бути представлена як m-кортежів із множини n-елементів (або слово із m-літер, що належить алфавіту, в якому є n-літер).

05 = │ { } │ = 0 Не існує 5-елементного кортежу, який можна було б побудувати із пустої множини.
14 = │ { (1,1,1,1) } │ = 1 Існує один 4-елементні кортежі із множини з одного елементу.
23 = │ { (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1), (1,2,2), (2,1,1), (2,1,2), (2,2,1), (2,2,2) } │ = 8 Існує вісім 3-елементні кортежі із множини з двох елементів.
32 = │ { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3) } │ = 9 Існує дев'ять 2-елементні кортежі із множини з трьох елементів.
41 = │ { (1), (2), (3), (4) } │ = 4 Існує чотири 1-елементні кортежі із множини з чотирьох елементів.
50 = │ { () } │ = 1 Існує лише один 0-кортеж.

Тотожності і властивості[ред.ред. код]

Наступні тотожності є вірними для всіх цілих показників, за умови що основа не є нулем:

Операція піднесення до степеня не є комутативною. Як протилежність - операції додавання і множення комутативні. Наприклад, 2 + 3 = 3 + 2 = 5 і 2 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 = 6, але 23 = 8, оскільки 32 = 9.

Операція піднесення до степеня також не є асоціативною. Приводячи приклад із додаванням і множенням, які є асоціативними, маємо: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 9 і (2 ⋅ 3) ⋅ 4 = 2 ⋅ (3 ⋅ 4) = 24, але 23 на 4 дорівнює 84 або 4096, в той час як 2 на 34 дорівнює 281 або 0.. Без дужок, які задають порядок дій, загальноприйнятим є порядок зверху-вниз (або право-асоціативний), а не знизу-вгору[12] (or left-associative):

В той час як Google і WolframAlpha в своїх додатках слідують вищезгаданому правилу, варто відмітити, що деякі комп'ютерні програми такі як Microsoft Excel або Matlab виконують операції зліва (зверху-вниз), тобто a^b^c розраховується як (a^b)^c.

Окремі значення основ[ред.ред. код]

Степені десятки[ред.ред. код]

У десятковій системі числення, цілі степені числа 10 записуються у вигляді цифри 1 за якою слідує ряд нулів, що визначаються знаком і величиною показника. Наприклад, 103 = 1000 і 10−4 = 0.0001.

Степені із основою 10 використовується як експоненціальний запис в науці, для позначення дуже великих або малих чисел. Наприклад, 299 792 458 м/с (швидкість світла у вакуумі, в метрах на секунду) може бути записана наступним чином: 2.99792458×108 м/с а потім апроксимовано до 2.998×108 м/с.

Префікси одиниць вимірювання теж основані на степенях числа 10 і використовуються для описання малих чи великих чисел. Наприклад, префікс кіло означає 103 = 1000, тому кілометр становить 1000 метрів.

Степені двійки[ред.ред. код]

Перші від'ємні степені двійки вживаються дуже часто, і мають особливі назви, такі як: половина і чверть.

Степені числа 2 з'являються у теорії множин, оскільки множина із n елементів має булеан, множина з усіх її підмножин, який має 2n елементів.

Цілі степені двійки важливі у комп'ютерній науці. Додатні цілі степені 2n задають максимальну можливу кількість значень для n-бітного цілого двійкового числа; наприклад, байт може приймати 28 = 256 різних значень. Двійкова система числення дозволяє задавати будь-яке число як суму степенів 2, і записує їх як послідовність цифр 0 і 1, розділених двійковою точкою[en], де 1 означає ті степені двійки, які мають з'являтися в сумі; показник степеня визначається номером позиції цієї 1: невід'ємні показники впорядковані 1-ями зліва від точки (починаючи з 0), а від'ємні показники визначаються порядком в правій частині після коми.

Степені одиниці[ред.ред. код]

Усі степені одиниці також дорівнюють одиниці: 1n = 1.

Степені нуля[ред.ред. код]

Якщо показник степеня є додатнім числом, степінь нуля буде дорівнювати нулю: 0n = 0, де n > 0.

Якщо показник степеня є від'ємним, степінь нуля (0n, де n < 0) є невизначеною, оскільки було виконано ділення на нуль.

Якщо показник дорівнює нулю, в деяких випадках визначають це як 00 = 1, в той час як в інших варіантах залишають значення невизначеним.

Степені мінус одиниці[ред.ред. код]

Якщо n є парним цілим, тоді (−1)n = 1.

Якщо n є непарним цілим числом, тоді (−1)n = −1.

Завдяки цій особливості, степені числа −1 зручно використовувати для вираження змінних послідовностей.

Великі степені[ред.ред. код]

Границя числової послідовності степенів числа більшого за одиницю розходяться; іншими словами, послідовність зростає без обмеження:

bn → ∞ при n → ∞ якщо b > 1

Це читається як "b у степені n прямує до +∞ при n, що прямує до нескінченності коли b є більшою за одиницю".

Степені чисел із абсолютним значенням, що менше одиниці прямують до нуля:

bn → 0 при n → ∞ якщо |b| < 1

Будь-який степінь одиниці, як уже зазначалося завжди дорівнює одиниці:

bn = 1 для всіх n якщо b = 1

Степені числа –1 чередують значення 1 і –1 при тому n змінюється будучи то парним то непарним числом, і таким чином не прямує ні до якої границі при збільшенні n.

Якщо b < –1, bn, чередується між все більшими додатними і від'ємними числами при тому як n чередується між парними і непарними значеннями, і таким чином не прямує до жодної границі при зростанні n.

Якщо значення числа, що підноситься до степеня змінюється при тому як прямує до 1 при показникові степеня що прямує до нескінченності, тоді існування границі і її значення не обов'язково підпадає у один випадків, що описано вище. Одним із важливих часткових випадків є

(1 + 1/n)ne при n → ∞

Степеневі функції[ред.ред. код]

Степеневі функції для
Степеневі функції для

Функції дійсних значень вигляду із називають степеневими функціями.Коли є цілим числом і , існує дві основні різновидності: для парних і непарних . В загальному випадку для , якщо є парним числом із збільшенням буде прямувати до нескінченності із знаком плюс, а також у напрямку нескінченності із знаком плюс при зменшенні . Всі графіки із родини парних степеневих функцій мають загальну форму для , маючи більш плоску форму в середині із збільшенням .[13] Функції із таким видом симетрії () називаються парними функціями[en].

Коли є парним, має асимптотичну поведінку яка змінюється від додатних до від'ємних . Для , також прямуватиме до нескінченності із знаком плюс при збільшенні , але при зменшенні прямуватиме до нескінченності із знаком мінус. Усі графіки для сімейства парних степеневих функцій мають загальний вигляд для , маючи більш плоску гладку форму в середині із збільшенням і втрачають усю гладкість перетворюючись в пряму лінію для . Функції із таким видом симетрії () називаються непарними функціями[en].

Для , асимптотична поведінка із протилежними знаками зберігається у усіх випадках.[14]

Список степенів цілих чисел[ред.ред. код]

n n2 n3 n4 n5 n6 n7 n8 n9 n10
2 4 8 16 32 64 128 256 512 1,024
3 9 27 81 243 729 2,187 6,561 19,683 59,049
4 16 64 256 1,024 4,096 16,384 65,536 262,144 1,048,576
5 25 125 625 3,125 15,625 78,125 390,625 1,953,125 9,765,625
6 36 216 1,296 7,776 46,656 279,936 1,679,616 10,077,696 60,466,176
7 49 343 2,401 16,807 117,649 823,543 5,764,801 40,353,607 282,475,249
8 64 512 4,096 32,768 262,144 2,097,152 16,777,216 134,217,728 1,073,741,824
9 81 729 6,561 59,049 531,441 4,782,969 43,046,721 387,420,489 3,486,784,401
10 100 1,000 10,000 100,000 1,000,000 10,000,000 100,000,000 1,000,000,000 10,000,000,000

Раціональні показники[ред.ред. код]

Зверху до низу вказані графіки функцій: x1/8, x1/4, x1/2, x1, x2, x4, x8.

Коренем n-го степеня числа b є число x таке що xn = b.

Якщо b є додатнім дійсним числом і n є додатнім цілим, тоді існує лише одне додатне дійсне значення, що є розв'язком рівняння xn = b. Цей розв'язок називається головним коренем n-го степеня для b. Він позначається виразом nb, де    символ корінь; аналогічним чином, головний корінь можна записати як b1/n. Наприклад: 41/2 = 2, 81/3 = 2.

Факт, що є рішенням для випливає із наступного запису:

Якщо n є парним, тоді xn = b має два дійсні рішення при умові що b додатне число, якими є додатній і від'ємний корені n-го степеня, тобто, b1/n > 0 і -(b1/n) < 0. Якщо b від'ємне, то рівняння не має рішення у вигляді дійсного числа при парних n.

Якщо n непарне, тоді xn = b має лише один дійсний розв'язок. Розв'язок буде b1/n додатнім, якщо b є додатнім і від'ємним якщо b від'ємне.

Піднесення додатного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u є цілим і v є додатнім цілим, і при розгляданні лише головних коренів, є наступним

Піднесення від'ємного дійсного числа b до раціонального степеня u/v, де u/v є правильним дробом, дає результат, що є додатнім дійсним числом якщо u є парним, і таким чином v є непарним, оскільки тоді bu є додатнім; і дає від'ємний дійсний результат, якщо u і v обидва є парними, оскільки тоді bu є від'ємним. Випадок коли u є непарним, а v є парним не можна визначити в рамках дійсних чисел, оскільки не існує такого дійсного числа x, щоб x2k = −1, при задаванні значення bu/v в такому випадку необхідно використовувати уявну одиницю i.

Дійсні показники степеня[ред.ред. код]

Тотожності і властивості що вказані вище для цілих степенів є вірними і для додатніх дійсних чисел із не цілими показникамиl. Однак рівність

не може послідовно поширюватися на випадки коли b є від'ємним дійсним числом. Невірність цієї рівності є основою проблеми, що озвучується щодо степенів комплексних чисел.

Границі раціональних степенів[ред.ред. код]

Дійсне число є границею послідовності раціональних наближень. Якщо

де - раціональні числа, то

.

Показникова функція[ред.ред. код]

Одна із важливих математичних констант e, що також називається числом Ейлера, приблизно дорівнює 2.718 і є основою натурального логарифму. Хоча піднесення у степінь числа e, по суті, можна трактувати так само як піднесення у степінь будь-якого іншого дійсного числа, такі степені як виявилося мають свої корисні і витончені властивості. Серед усього іншого, ці властивості дозволяють узагальнити степені e природнім способом до інших типів степенів, таких як степені комплексних чисел або навіть матриць.

Як правило, нотація ex зазвичай позначає узагальнене поняття експонування і називається показниковою функцією, exp(x), яку можна визначити багатьма способами, наприклад таким:

Крім інших властивостей, exp задовольняє степеневе рівняння

Показникова функція є визначеною для всіх цілих, дрібних, дійсних, і комплексних значень змінної x. Експонента матриці добре визначена для квадратних матриць (у випадку яких експоненційне рівняння виконується лише коли матриці x і y є комутативними), і є корисною для вирішення систем лінійних диференційних рівнянь.

Дії зі степенями[ред.ред. код]

При спрощенні виразів зі степенями можна використовувати декілька базових правил або законів, що називаються правилами дій зі степенями[15]:

1. При перемножуванні двох або більше різних степенів з однаковими основами показники степеня додаються

2. При діленні одного степеня на інший з тією ж основою показник степеня знаменника віднімається від показника степеня чисельника.

3. При піднесені числа в якомусь степеню до іншого степеню показники перемножуються.

4. При піднесенні будь-якого числа (окрім нуля) в степінь з показником 0 одержуємо 1, так

5. При піднесенні числа до степеню з від'ємним цілим показником одержуємо величину, зворотну цьому числу з додатнім степенем. Таким чином . Аналогічно

6. При піднесенні числа до дробового степеню, знаменник цього дробу є степінь кореня з числа, а чисельник є показником степеня числа. Так,

Функції[ред.ред. код]

В комбінаториці[ред.ред. код]

Докладніше: Розміщення

В комбінаториці, кількість можливих розміщень з повтореннями із n елементів по m дорівнює nm:[16]

Наприклад, із цифр 1, 2, 3, 4 можна скласти тризначних числа.

Посилання[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». .
  2. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник/ Пер. с. англ. — М.: Издательский дом «Додэка- XXI»,2008. — 544 с.
  3. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Примітки[ред.ред. код]

  1. К. І. Швецов, Г. П. Бевз (1967). Довідник з елементарної математики. К. «Наукова думка». 
  2. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Etymology of some common mathematical terms в архіві MacTutor (англ.)
  3. For further analysis see The Sand Reckoner.
  4. Джон Дж. О'Коннор та Едмунд Ф. Робертсон. Abu'l Hasan ibn Ali al Qalasadi в архіві MacTutor (англ.)
  5. Cajori, Florian (2007). A History of Mathematical Notations; Vol I. Cosimo Classics. Pg 344 ISBN 1602066841
  6. René Descartes, Discourse de la Méthode … (Leiden, (Netherlands): Jan Maire, 1637), appended book: La Géométrie, book one, page 299. From page 299: " … Et aa, ou a2, pour multiplier a par soy mesme; Et a3, pour le multiplier encore une fois par a, & ainsi a l'infini ; … " (… and aa, or a2, in order to multiply a by itself; and a3, in order to multiply it once more by a, and thus to infinity ; …)
  7. See:
    • Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics
    • Michael Stifel, Arithmetica integra (Nuremberg («Norimberga»), (Німеччина): Johannes Petreius, 1544), Liber III (Книга 3), Caput III (Глава 3): De Algorithmo numerorum Cossicorum. (Про алгоритми алгебри.), page 236. Штифель намагався отримати зручне представлення елементів геометричної прогресії. Заради цього він використав громіздку систему позначень. На 236-й сторінці він ввів систему позначень для перших восьми елементів геометричної прогресії (з основою 1) і зробив запис: «Quemadmodum autem hic vides, quemlibet terminum progressionis cossicæ, suum habere exponentem in suo ordine (ut 1ze habet 1. 1ʓ habet 2 &c.) sic quilibet numerus cossicus, servat exponentem suæ denominationis implicite, qui ei serviat & utilis sit, potissimus in multiplicatione & divisione, ut paulo inferius dicam.»
    (Однак, Ви бачите, що кожен елемент послідовності має свій показник степеня (перший — 1, 1ʓ — 2, і т. д.), отже, кожне число неявно підпорядковане степені залежній від його розташування, яка [в свою чергу] підпорядковується йому і є корисною, здебільшого, при множенні та ділення, як я згадаю це трохи нижче.) [Зауваження: Більшість громіздких позначень Штифеля запозичені у Крістофа Рудольффа, який, в свою чергу, запозичив їх у книзі Леонардо Фібоначчі Liber Abaci (1202), де вони використовувались як скорочення латинських слів res/radix (x), census/zensus (x2), and cubus (x3).]
  8. Quinion, Michael. Zenzizenzizenzic - the eighth power of a number. World Wide Words. Процитовано 2010-03-19. 
  9. Це визначення «інволюції» з'явилось у другому виданні OED, 1989, і в онлайн словнику Merriam-Webster [1]. Останнє використання в цьому сенсі, наведене OED, починається з 1806 року.
  10. Леонард Ейлер (1748) Введення в аналіз нескінченно малих[en], англ. видання, сторінка 75
  11. Achatz, Thomas (2005). Technical Shop Mathematics (вид. 3rd). Industrial Press. с. 101. ISBN 0-8311-3086-5. 
  12. Raphael M. Robinson (1958). A report on primes of the form k · 2n + 1 and on factors of Fermat numbers (pdf). Proc. Amer. Math. Soc. 9: 677. 
  13. Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen. Calculus: Early Transcendentals (вид. 9th). John Wiley & Sons. с. 28. 
  14. Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen. Calculus: Early Transcendentals (вид. 9th). John Wiley & Sons. с. 28. 
  15. Бёрд Дж. Инженерная математика: Карманный справочник - С. 27
  16. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. (2002). Элементы дискретной математики. НГТУ. ISBN 5-7782-0332-2. 

Дивіться також[ред.ред. код]