Піфагорові середні

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Геометричне представлення різних математичних середніх. a, b - два числа. A = арифметичне середнє чисел 'a' і 'b'. G = геометричне середнє, H = гармонійне середнє, Q = середнє квадратичне
Порівняння арифметичних, геометричних і гармонійних середніх пар чисел. Вертикальні пунктирні лінії є асимптотами для гармонійних.

У математиці три класичні засоби Піфагорових середніх: середнє арифметичне (AM), середнє геометричне (GM) і середнє гармонійне (HM). Ці засоби були пропорційно вичені піфагорійцями разом з більш пізніним поколінням грецьких математиків[1], через їхню важливість у геометрії та музиці.

Визначення[ред. | ред. код]

Вони визначаються так:

Властивості[ред. | ред. код]

Кожне значення має наступні властивості:

Збереження цінності
Однорідна функція першої послідовності
Інваріантність при обміні
для будь-якої та .
Виведення середньої величини

Гармонійні і арифметичні середні є взаємними двійниками один-одного для позитивних аргументів:

в той час як середнє геометричне - це його власна взаємна подвійність:

Нерівності серед середніх[ред. | ред. код]

Існує впорядкування цих середніх (якщо всі позитивні)

з рівноправністю, тільки якщо всі рівні.

Це узагальнення нерівності арифметичних і геометричних середніх і окремий випадок нерівності для середнього степеневого. Доказ випливає з арифметико-геометричної середньої нерівності, та взаємної подвійності ( і також взаємні подвійні).

Вивчення піфагорові середніх тісно пов'язане з вивченням мажоризації[en] й шур-опуклої функції[en]. Гармонійними і геометричними середніми є увігнуті симетричні функції їхніх аргументів.

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Heath, Thomas. History of Ancient Greek Mathematics. 

Посилання[ред. | ред. код]