Пі-теорема Букінгема

Пі-теорема Букінгема — це ключова теорема в аналізі розмірностей. Це формалізація методу аналізу розмірностей Релея. Вільно кажучи, теорема стверджує, що якщо рівняння включає певну кількість n фізичних змінних, тоді початкове рівняння можна переписати за допомогою множини з p = n — k безрозмірнісних параметрів $π$ ₁, $π$ ₂, …, $π$ _p сконструйованих з початкових змінних. (Тут k — це кількість залучених фізичних розмірностей; її обчислюють як ранг спеціальної матриці.)

Теорему можна розглядати як схему знерозмірнення, бо вона надає метод для обчислення множини безромірнісних параметрів з заданих змінних, навіть якщо форма рівняння все ще невідома.

Історія

Хоча теорема π й названа на честь Едгара Бекінгема, її вперше довів французький математик Жозеф Бертран у 1878 році. Бертран розглядав лише окремі випадки задач з електродинаміки та теплопровідності, але його стаття містить у чітких термінах усі основні ідеї сучасного доведення теореми та чітко вказує на корисність теореми для моделювання фізичних явищ. Техніка використання теореми («метод розмірностей») стала широко відомою завдяки роботам Релея. Перше застосування теореми π у загальному випадку до задач потоку рідини, ймовірно, датується 1892 роком, евристичне доведення з використанням розкладів у ряди — 1894 роком.

Формальне узагальнення теореми π для випадку довільної кількості величин було дано спочатку А. Ваші у 1892 році, потім у 1911 році — очевидно, незалежно — А. Федерманом та Д. Рябушинським, і знову в 1914 році Бекінгемом.

Твердження

Більш формально, кількість безрозмірнісних членів, які можна утворити, p, дорівнює вимірності ядра матриці розмірностей, а k — це її ранг. Для експериментальних цілей, різні системи, що мають однаковий опис мовою цих безрозмірнісних фізичних величин — тотожні.

Викладаючи математично, якщо ми маємо фізично значиме рівняння таке як

f(q_{1},q_{2},\ldots ,q_{n})=0,

де q_i — це n фізичних змінних і вони виражені через k незалежних фізичних одиниць, тоді попереднє рівняння можна переформулювати як

F(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{p})=0,

де $π$ _i — це безрозмірнісні параметри, утворені з q_i використовуючи p = n − k безрозмірнісних рівнянь — так званих Пі груп — у вигляді

\pi _{i}=q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}},

де показники a_i — це раціональні числа (їх завжди можна перевизначити як цілі, піднесши $π$ _i до степеня, так щоб позбутись знаменника).

Доведення

Нарис

Припустимо, що простір фундаментальних і похідних фізичних величин формує векторний простір над раціональними числами, де фундаментальні величини виявляють себе як базисні вектори, а добуток фізичних величин проявляється як векторне додавання і піднесення до степеня як множення на скаляр. Цей простір представляє розмірності як множину показників, необхідних для фундаментальних величин (якщо степінь нульова, то ця фундаментальна величина відсутня). Наприклад, стандартне гравітаційне прискорення g має одиниці $D/T^{2}=D^{1}T^{-2}$ , отже, воно представлене як вектор $(1,-2)$ щодо базису фундаментальних одиниць (відстань, час).

Прирівнювання фізичних величин у множині фізичних рівнянь можна розглядати як накладання лінійних обмежень у векторному просторі фізичних величин.

Формальне доведення

Маючи систему з n розмірнісних змінних (з фізичними розмірностями) в k фундаментальних (базисних) розмірностях, запишемо матрицю розмірностей M, чиї рядки це фундаментальні розмірності і чиї стовпчики це розмірності змінних: (i, j)-й елемент — це степінь i-ї фундаментальної розмірності в j-й змінній. Отже,

M{\begin{bmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}

це фізичні одиниці величини

q_{1}^{a_{1}}\,q_{2}^{a_{2}}\cdots q_{n}^{a_{n}}.

Безрозмірнісна змінна — це величина з фундаментальними розмірностями, піднесеними в нульовий степінь (нульовий вектор векторного простору фундаментальних розмірностей), що те саме, що ядро цієї матриці.

Система з n векторів (стовпчиків) з k лінійно незалежними рядками (ранг матриці — це кількість фундаментальних розмірностей) має ступінь виродженності, p, що задовольняє (p = n − k), де ступінь виродженності — це кількість стовпчиків/змінних, які можна зробити безрозмірнісними.

Безрозмірнісні змінні можна завжди обрати цілочисельними комбінаціями розмірнісних змінних. Не існує природного математичного вибору безрозмірнісних змінних; деякі варіанти безрозмірнісних змінних більш фізично значимі, і найкраще використовувати саме їх.

Приклади

Швидкість

Цей приклад елементарний, але підходить для демонстрації процедури.

Припустімо, що автівка рухається зі швидкістю 100 км/г; скільки їй потрібно часу, щоб подолати 200 км?

Це питання розглядає три розмірнісних змінних: відстань d, час t і швидкість v, і ми шукаємо деякий закон у вигляді t = Тривалість(v, d). Ці змінні допускають двовимірний базис: час T і відстань D. Таким чином, існує 3 − 2 = 1 безрозмірнісних величин.

Матриця розмірностей:

M={\begin{bmatrix}1&0&\;\;\;1\\0&1&-1\end{bmatrix}}.

Тут рядки відповідають базисним розмірностям D і T, а стовпчики розмірностям D, T і V, де остання позначає розмірність швидкості. Елементи матриці відповідають степеням, до яких відповідні розмірності треба піднести. Наприклад, третій стовпчик (1, −1), каже, що V = D⁰T⁰V¹, представлене вектором стовпчиком $\mathbf {v} =[0,0,1]$ , представне в термінах базисних розмірностей як $V=D^{1}T^{-1}=D/T$ , бо $M\mathbf {v} =[1,-1]$ .

Для безромірнісної сталої $\pi =D^{a_{1}}T^{a_{2}}V^{a_{3}}$ , ми шукаємо вектори $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},a_{3}]$ такі, що матрично-векторний добуток Ma дорівнює нульовому вектору [0,0]. В лінійній алгебрі, множина векторів з такою властивістю відома як ядро матриці, в нашому випадку матриці розмірностей. Тут це ядро одновимірне. Матриця розмірностей як записана вище вже є в скороченій рядковій формі, отже ми можемо просто зчитати ненульовий вектор з ядра з точністю до сталого множника:

\mathbf {a} ={\begin{bmatrix}-1\\\;\;\;1\\\;\;\;1\\\end{bmatrix}}.

Якщо матриця розмірностей була б не у скороченій формі, то можна було б використати метод Гауса. Отже, безрозмірнісна стала має вигляд:

\pi =d^{-1}t^{1}v^{1}=tv/d.

З того, що ядро визначене з точністю до сталого множника, наведена безрозмірнісна стала піднесена до довільного степеня дає іншу (тотожну) безрозмірнісну сталу.

Аналіз розмірностей надав загальне рівняння, що пов'язує три фізичні змінні:

f(\pi )=0,

або, дозволяючи $C$ позначати корінь функції $f$ ,

\pi =C,

що можна записати як

t=C{\frac {d}{v}},

Справжній зв'язок між трьома змінними це просто $d=vt$ . Інакше кажучи, в цьому випадку $f$ має фізично значимий корінь і це одиниця. Факт того, що лише одне значення C підходить і, що це 1 не відкривається за допомогою техніки аналізу розмірностей.

Простий маятник

Ми бажаємо визначити період T малих коливань простого маятника. Ми припускаємо, що це функція довжини L, маси M і прискорення g, яке має розмірність довжини поділеній на квадрат часу. Модель має форму

f(T,M,L,g)=0.

В цьому рівнянні наявні три фундаментальні фізичні розмірності: час $t$ , маса $m$ і довжина $\ell$ , а також 4 розмірнісні змінні, T, M, L і g. Отже нам потрібен лише 4 − 3 = 1 безрозмірнісний параметр π. Модель можна виразити як

f(\pi )=0,

де π заданий так

\pi =T^{a_{1}}M^{a_{2}}L^{a_{3}}g^{a_{4}}

для деяких значень a₁, …, a₄.

Розмірності розмірнісних величин такі:

T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.

Матриця розмірностей:

M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.

(Рядки відповідають розмірностям $t,m$ і $\ell$ , а стопчики розмірнісним змінним T, M, L і g. Наприклад, 4-й стовпчик, (−2, 0, 1), говорить, що g має розмірність $t^{-2}m^{0}\ell ^{1}$ .)

Ми шукаємо вектор ядра a = [a₁, a₂, a₃, a₄] такий, що матричний добуток M на a дає нульовий вектор [0,0,0]. Матриця розмірностей наведена вище вже перебуває в скороченій рядковій формі, тому ми можемо зчитати вектор ядра з точністю до сталого множника:

a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.

Безрозмірнісну сталу можна записати як:

{\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.

Або в базисних розмірностях:

\pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,

маємо безрозмірнісний результат.

Цей приклад простий, бо три розмірнісні величини — це фундаментальні одиниці, отже остання (g) — це комбінація попередніх. Зауважимо, що якщо б a₂ було ненульовим, тоді ми не змогли б скоротити значення M; звідси a₂ мусить бути нулем. Аналіз розмірностей дозволив нам заключити, що період маятника не залежить від маси. (В 3D просторі степенів маси, часу і відстані ми можемо скзати, що вектор маси лінійно незалежить від векторів трьох інших змінних. З точністю до сталого множника, ${\vec {g}}+2{\vec {T}}-{\vec {L}}$ — це єдиний нетривіальний спосіб утворити безрозмірнісний параметр.)

Тепер модель можна виразити як:

f(gT^{2}/L)=0.

Припускаючи, що корені f дискретні, можна сказати, що gT²/L = C_n, де C_n — n-й корінь функції f. Якщо існує лише один корінь, тоді gT²/L = C. Необхідно більше фізичної прозорливості, що показати, що дійсно існує лише один корінь і, що стала така C = 4π².

Для великих коливань маятника, аналіз ускладнюється додатковим безрозмірнісним параметром, найбільший кут відхилення. Наведений вище аналіз — це хороше наближення коли коли кут близький до нуля.

Див. також