Радикал Джекобсона

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Радикалом Джекобсона кільця R називається множина елементів з R, які анулюють всі прості R-модулі, або саме кільце R, якщо простих R-модулів не існує. Радикал кільця R позначається через J(R). Тобто:

J(R) = \{x \in R | sx = 0,\quad \forall s \in S, \forall S \in Sm(R) \}
де Sm(R) позначає множину простих модулів над кільцем R.

Радикал Джекобсона був введений і детально досліджений американським математиком Натаном Джекобсоном (N. Jacobson) у 1945 році.

Еквівалентні визначення[ред.ред. код]

Радикал Джекобсона завжди існує і може бути охарактеризований багатьма способами:

  • Радикал Джекобсона кільця Rідеал J{R) асоціативного кільця А, що задовольняє наступним двом умовам:
  1. J (А) — найбільший квазірегулярний ідеал в R (елемент a \in R називається квазірегулярним, якщо рівняння а + х + ах=0 має розв'язок x \in R. Для кілець з одиницею це еквівалентно оборотності елемента 1 - a);
  2. у фактор-кільці R/J{R) немає квазірегулярних ідеалів, окрім нульового.

Приклади[ред.ред. код]

  • Радикал Джекобсона довільного поля рівний {0}. Радикал Джекобсона кільця цілих чисел рівний {0}.
  • Радикал Джекобсона кільця Z/8Z — 2Z/8Z.
  • Якщо K — поле і R = K[[X1, ..., Xn]] — кільце формальних степеневих рядів, тоді елементами J(R) є ті степеневі ряди вільним член яких рівний нулю.

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо I — ідеал в кільці R, то J(I) = I \cap J(R), якщо R_n — кільце всіх матриць порядку n над R, то J(R_n) = (J(R))_n.
  • Якщо на асоціативному кільці R ввести наступну операцію:
a \circ b = a + b + ab
то в напівгрупі \left \langle R, \circ \right \rangle радикал J(R) відносно операції \circ буде підгрупою.
  • Над квазірегулярним (тобто таким, що збігається зі своїм радикалом Джекобсона) асоціативним кільцем не існує ненульових скінченно породжених незвідних модулів; проте прості асоціативні квазірегулярні кільця існують.
  • Для того, щоб в асоціативному кільці R радикал Джекобсона був рівний нулю, необхідно і достатньо, щоб R було підпрямою сумою примітивних кілець.
  • Радикал Джекобсона кільця R/J(R) рівний нулю.
  • Якщо M — скінченнопороджений лівий R-модуль і J(R)M = M, то M = 0 (лемма Накаями).
  • J(R) містить кожен ідеал R всі елементи якого є нільпотентними . Якщо R є лівим чи правим кільцем Артіна , тоді J(R) є нільпотентним ідеалом. Проте загалом не всі елементи радикала Джекобсона мають бути нільпотентними.

Посилання[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Джекобсон Н., Строение колец, пер. с англ., М.: Мир,1961
  • Херштейн И.Н., Некоммутативные кольца, М.: Мир, 1972
  • I. Martin Isaacs (1993). Algebra, a graduate course (1st edition ed.). Brooks/Cole Publishing Company. ISBN 0-534-19002-2