Радикал (теорія кілець)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В абстрактній алгебрі радикалом ідеалу в комутативному кільці , називається множина:

.

Ідеал, що збігається зі своїм радикалом має назву радикальний ідеал.

Властивості[ред.ред. код]

  • Радикал ідеалу теж є ідеалом.
Нехай деяке комутативне кільце, a два елементи, що належать радикалу ідеалу . Нехай такі, що та . З комутативності і можна використати формулу бінома Ньютона для :
При маємо , тоді і доданки, що відповідають тим індексам рівні нулю. Однак при , одержується . Тобто всі доданки належать і, зважаючи на замкнутість ідеалів щодо додавання, є елементом радикалу .
Далі якщо — деякий елемент кільця і — елемент радикалу такий, що , тоді тобто , що доводить твердження.
  • Радикал ідеалу рівний перетину всіх простих ідеалів, що містять .(Див. статтю Простий ідеал).

Приклади[ред.ред. код]

Нехай — кільце цілих чисел.

  1. Радикал чисел, що діляться на 4 рівний .
  2. Радикал рівний .
  3. Радикал рівний .

Література[ред.ред. код]

  • David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.