Раціональна нормальна крива

Раціона́льна норма́льна крива́ — гладка раціональна крива степеня n в n-вимірному проєктивному просторі $\mathbb {P} ^{n}.$ Вона є одним із порівняно простих проєктивних многовидів, більш формально, вона є образом вкладення Веронезе, застосованого до проєктивної прямої.

Визначення

Раціональну нормальну криву можна задати параметрично як образ відображення

$\nu :\mathbb {P} ^{1}\to \mathbb {P} ^{n}$

яке переводить точку з однорідними координатами $[s:t]$ в точку

$[s^{n}:s^{n-1}t:s^{n-2}t^{2}:\ldots :t^{n}].$

У афінній карті $x_{0}=1$ це відображення записується простіше:

$\nu :x\mapsto (x,x^{2},\ldots ,x^{n}).$

Легко бачити, що раціональна нормальна крива отримується замиканням афінної кривої $(x,x^{2},\dots ,x^{n})$ за допомогою єдиної нескінченно віддаленої точки.

Еквівалентно, раціональну нормальну криву можна задати як множину спільних нулів однорідних многочленів

$F_{i,j}(x_{0},\ldots ,x_{n})=x_{i}x_{j}-x_{i+1}x_{j-1},$

де $[x_{0}:\ldots :x_{n}]$ — однорідні координати на $\mathbb {P} ^{n}$. Розглядати всі ці многочлени не обов'язково, для задання кривої досить вибрати, наприклад, $F_{i,i}$ і $F_{1,n-1}.$

Альтернативна параметризація

Нехай $[a_{i}:b_{i}]$ — $n+1$ різних точок на $\mathbb {P} ^{1}.$ Тоді многочлен

$G(s,t)=\Pi _{i=0}^{n}(a_{i}s-b_{i}t)$

є однорідним многочленом степеня $n+1$ з різними коренями. Многочлени

$H_{i}(s,t)={\frac {G(s,t)}{(a_{i}s-b_{i}t)}}$

утворюють базис простору однорідних многочленів степеня n. Відображення

$[s:t]\mapsto [H_{0}(s,t):H_{1}(s,t):\ldots :H_{n}(s,t)]$

також задає раціональну нормальну криву. Дійсно, мономи $s^{n},s^{n-1}t,s^{n-2}t^{2},\ldots ,t^{n}$ є лише одним з можливих базисів у просторі однорідних многочленів, і його можна перевести лінійним перетворенням у будь-який інший базис.

Це відображення переводить нулі многочлена $G(s,t)$ в «координатні точки», тобто точки, всі однорідні координати яких, крім однієї, дорівнюють нулю. І навпаки, раціональну нормальну криву, що проходить через ці точки, можна задати параметрично за допомогою деякого многочлена $G.$

Властивості

• Будь-які $n+1$ точка на раціональній нормальній кривій у $\mathbb {P} ^{n}$ лінійно незалежні. Навпаки, будь-яка крива з такою властивістю є раціональною нормальною.
• Для будь-яких $n+3$ точок $\mathbb {P} ^{n},$ таких, що будь-які $n+1$ з них лінійно незалежні, існує єдина раціональна нормальна крива, що проходить через ці точки. Для побудови такої кривої досить перевести $n+1$ з точок у «координатні», а потім, якщо решта точок перейшли в $[c_{0}:c_{1}:\ldots :c_{n}],[d_{0}:d_{1}:\ldots :d_{n}],$ як многочлен $G$ вибрати многочлен, що занулююється в точках $[a_{i}:b_{1}]=[c_{i}^{-1}:d_{i}^{-1}].$
• Раціональна нормальна крива в разі $n>2$ не є повним перетином, тобто її неможливо задати числом рівнянь, рівним її корозмірності.

Література

• Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М. : МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.