Раціональна нормальна крива

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Раціона́льна норма́льна крива́ — гладка раціональна крива степеня[en] n в n-вимірному проєктивному просторі Вона є одним із порівняно простих проєктивних многовидів, більш формально, вона є образом вкладення Веронезе, застосованого до проєктивної прямої.

Визначення[ред. | ред. код]

Раціональну нормальну криву можна задати параметрично як образ відображення

яке переводить точку з однорідними координатами в точку

У афінній карті це відображення записується простіше:

Легко бачити, що раціональна нормальна крива отримується замиканням афінної кривої за допомогою єдиної нескінченно віддаленої точки.

Еквівалентно, раціональну нормальну криву можна задати як множину спільних нулів однорідних многочленів

де  — однорідні координати на . Розглядати всі ці многочлени не обов'язково, для задання кривої досить вибрати, наприклад, і

Альтернативна параметризація[ред. | ред. код]

Нехай  — різних точок на Тоді многочлен

є однорідним многочленом степеня з різними коренями. Многочлени

утворюють базис простору однорідних многочленів степеня n. Відображення

також задає раціональну нормальну криву. Дійсно, мономи є лише одним з можливих базисів у просторі однорідних многочленів, і його можна перевести лінійним перетворенням у будь-який інший базис.

Це відображення переводить нулі многочлена в «координатні точки», тобто точки, всі однорідні координати яких, крім однієї, дорівнюють нулю. І навпаки, раціональну нормальну криву, що проходить через ці точки, можна задати параметрично за допомогою деякого многочлена

Властивості[ред. | ред. код]

  • Будь-які точка на раціональній нормальній кривій у лінійно незалежні. Навпаки, будь-яка крива з такою властивістю є раціональною нормальною.
  • Для будь-яких точок таких, що будь-які з них лінійно незалежні, існує єдина раціональна нормальна крива, що проходить через ці точки. Для побудови такої кривої досить перевести з точок у «координатні», а потім, якщо решта точок перейшли в як многочлен вибрати многочлен, що занулююється в точках
  • Раціональна нормальна крива в разі не є повним перетином, тобто її неможливо задати числом рівнянь, рівним її корозмірності.[1]

Примітки[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Харрис, Дж. Алгебраическая геометрия. Начальный курс. — М. : МЦНМО, 2005. — 400 с. — ISBN 5-94057-084-4.