Резонанс

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Резона́нс (від лат. resono «відгук, відгукуюсь») — явище, що спостерігається в різного типу фізичних системах. Найчастіше резонанс визначають як зростання амплітуди вимушених коливань в системі при співпадінні частоти зовнішньої сили з одною із власних частот коливальної системи. В деяких випадках виникають складності з визначенням власних частот і резонанс проявляється при певних умовах узгодження в просторі і часі характеристик зовнішніх збурень і внутрішніх властивостей системи. Явище резонансу було вперше описано Галілео Галілеєм в в 1638 році [1]. В описі резонансу Г. Галілей якраз звернув увагу на найсуттєвіше — на здатність механічеої коливальної системи (важкого маятника) накопичувати енергію, що підводиться від зовнішнього джерела з певною частотою. Прояви резонансу мають певні специфічні особливості в різних системах і тому розрізняють різні його типи:

Основні властивості резонансних явищ найпростіше ілюструються при аналізі механічного резонансу в системах з різними властивостями.

Резонанси в механічних коливальнних системах з однією ступеню вільності[ред.ред. код]

Система з одною ступеню вільності є найпростішою механічною системою, аналіз поведінки якої при вимушених коливаннях під дією періодичної зовнішньої сили дає можливість висвітлити багато особливостей явища резонансу.

Найпростіша модель системи з однією ступеню вільності.

В показаній на рисунку системі маса  m прикріплена до невагомої пружини з жорсткістю  D . Будучи зміщенною в початковий момент з положення рівноваги маса здійснює незатухаючі коливання навколо цього положення з власною частотою  \omega_0=\sqrt\frac{D}{m}. Червоною стрілкою показано зміну в часі сили, що діє з боку пружини на масу. Положення маси визначається періодичною функцією s(t), яка змінюється з частотою  \omega_0.

Більш загальна математична модель системи з одною ступеню вільності враховує демфування коливальних рухів та можливі нелінійності в поведінці пружини (механізму формування відновлюючої сили). В цьому загальному випадку для функції, що визначає відхилення маси від положення рівноваги, одержуємо наступне диференціальне рівняння:[2]

\frac{d^2\xi}{d\tau^2}+\frac{1}{Q}\frac{d\xi}{d\tau}+\xi[1\pm\epsilon\xi^2]=cos (\gamma\tau) \quad (1)

В цьому рівнянні функція \xi(\tau) описує зміщення маси від положення рівноваги. Величина  Q є характеристикою демпфування в системі і називається добротністю. Коефіцієнт  \epsilon визначає ступінь нелінійності в системі. Така форма рівняння вказує на можливість його використання при аналізі двох типів коливальних систем. Знак "+" перед ним вказує на те, що відновлююча сила зростає швидше ніж в лінійній системі і така нелінійність називається жорсткою. Якщо нелінійність призводить до зменшення відновлюючої сили в рівнянні слід використовувати знак "-" і така нелінійність називається м'якою. Такий тип нелінійності хоч і є лише одним із багатьох можливих типів, що зустрічаються в фізичних системах, дозволяє показати характерні особливості нелінійних резонансів. Вперше рівняння з квадратичною нелінійністю розглядалося в роботах Гельмгольця. В правій частині рівняння представлено певним чином обезрозмірену [2] зовнішню періодичну силу. Параметр \gamma визначається, як відношення частоти зовнішньої сили до власної частоти системи \omega_0. Для розуміння особливостей моделювання резонансних явищ слід звернути увагу на те, що величина зовнішньої сили вважається незалежною від переміщень маси. Фізично це означає, що вимушені коливання системи стимулюються джерелом з нескінченним запасом енергії. Коливання в системах з обмеженою енергією джерела є предметом окремого напрямку в сучасній динаміці. [3]


Резонанс в лінійній системі без демпфування[ред.ред. код]

В цьому випадку поведінка системи визначається таким рівнянням

\frac{d^2\xi}{d\tau^2}+\xi=cos (\gamma\tau)  \quad (2)

Для аналізу поведінки системи слід одержати розв'язок цього рівняння при певних значеннях переміщення та швидкості маси в момент початку руху \tau=0. Вибір початкових умов не має принципового значення при аналізі резонансних явищ і тому вважаємо, що система почала рух з положення рівноваги \xi(0)=0 нулевим значенням початкової швидкості \frac{d\xi}{d\tau}(0)=0.

Зміна амплітуди коливань маси в системі без демпфування в початкові моменти руху.

Розв'язок рівняння (2), що задаовольняє вибраним початковим умовам, має вигляд

\xi(\tau)=\frac{1}{1-\gamma^2}[cos\gamma\tau-cos\tau]  \quad (3)

відхилення маси від положення рівноваги в процесі руху являє собою суперпозицію двох гармонічних коливань з однаковими амплітудами -- коливання з частотою зовнішньої сили і з власною частотою. Для визначення руху системи в випадку співпадіння частоти зовнішньої сили і власної частоти слід в виразі (3) здійснити граничний перехід коли \gamma прямує до одиниці. В результаті такого переходу одержуємо вираз

\xi(\tau)=\frac{1}{2}\tau sin\tau \quad (4) .

У відповідності з цим виразом система здійснює коливальний рух з амплітудою, що зростає пропорційно часу. Саме такий рух зображено графічно на представленому рисунку. З цього останнього виразу випливає, що резонанс, це процес зростання амплітуди коливань системи при певному узгодженні частоти зовнішньої сили з власною частотою системи. Якщо джерело зовнішньої сили має необмежений запас енергії амплітуда коливань в системі без демпфування необмежено зростає. Особливістю резонансу є також те, що при співпадінні частоти сили з власною частотою системи протягом певного часу негативних наслідків з точки зору можливого руйнування системи може і не бути.

Резонанс в лінійній системі з демпфуванням[ред.ред. код]

В цьому випадку рівняння руху маси має вигляд

\frac{d^2\xi}{d\tau^2}+\frac{1}{Q}\frac{d\xi}{d\tau}+\xi=cos (\gamma\tau) \quad (5)

В такій системі уже не існує незатухаючих власних коливань коли система виводиться із положення рівноваги певними початковими збуреннями. Коливання в такій системі з часом затухають, а при певних значеннях добротності взагалі не виникають. В зв'язку з цим стає дещо умовним само поняття власної частоти. Для уточнення його змісту слід розглянути вільні коливання в такій системі з демпфуванням.

Спадання амплітуди коливань в системі з демпфуванням, виведеної із положення рівноваги початковим збуренням.

Для однорідного рівняння, що відповідає рівнянню (4) загальний розв'язок має вигляд:

\xi(\tau)= a_1e^{\alpha_1\tau} +a_2e^{\alpha_2\tau}.

Тут \alpha_{1,2}=-\frac{1}{2Q}\pm\sqrt{\frac{1}{4Q^2}-1}.

З цих виразів для показників степенів в загальному розв'язку випливає, що коливальний рух в системі можливий лише при умові 4Q^2>1. В цьому випадку якісна картина вільних коливань в системі з демпфуванням відображена на рисунку. Тут по горизонтальній осі відкладаються відрізки часу. Характерним в поведінці спадаючої кривої, що характеризує зміну в часі амплітуди відхилень системи від положення рівноваги є те, що проміжок часу між точками відносного максимуму (мінімуму) на цій кривій залишаються постйними. Саме через цей проміжок часу T визначають частоту \Omega_0 власних коливань системи з демпфуванням. Найчастіше значення цієї частоти визначають формулою \Omega_0=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}. Тут \delta=\frac{\omega_0}{2Q}.

Оскільки з часом власні коливання в системі з демпфуванням згасають при аналізі резонансу в таких системах використовують лише усталені вимушені коливання. Такі коливання визначаються частинним розв'язком рівняння (5). Цей розв'язок має вигляд

\xi(\tau)=\frac{1}{\Delta}cos(\gamma\tau +\varphi), \Delta = \sqrt{(1-\gamma^2)^2+\frac{\gamma^2}{Q^2}}. \quad (6)

Цей вираз вказує, що амплітуда вимушених коливань системи з демпфуванням залишається обмеженою при будь-якому значенні частоти. Тепер для визначення резонансної ситуації слід знаходити ті значення частоти, при яких амплітуда тієї чи іншої кінематичної характеристики системи набуває максимального значення.

Вплив демпфуванння на характер вимушених коливань в системі з однією ступеню вільності.

Аналізуючи на екстренум амплітуду виразу для \xi(\tau) знаходимо, що максимум відхилення від положення рівноваги досягається при частоті зовнішньої сили, яка відрізняється від вказаної вище власної частоти вільних коливань системи з демпфуванням \Omega_0 і дорівнює \Omega=\sqrt{\omega_0^2-2\delta^2}. В багатьох випадках практичного використання коливальних систем більш важливим є значення величини коливальної швидкості. Якщо ж, виходячи з виразу для переміщення, обчислити коливальну швидкість, як похідну по \tau, і потім знайти максимум амплітуди, то він досягається при \gamma=1, тобто при частоті, що співпадає з власною частотою \omega_0 відповідної системи без демпфування. Цей приклад показує, що в системах з демпфуванням слід розрізняти резонанс по переміщенням і резонанс по швидкостям. При аналізі даних, приведених на рисунку для ілюстрації впливу демпфування на характер коливань, слід мати на увазі, що фактично на осі ординат відкладається коливальна швидкість, оскількі всі криві мають максимум на частоті системи без демпфування.

Амплітуди вимушених коливань на резонансних частотах в системах з демпфуванням залишаються обмеженими не дивлячись на необмеженість енергії зовнішнього джерела збуджуючоъ сили. Однак для систем зі значною добротністю (з незначним демпфуванням)при коливаннях на резонансних частотах рівень механічних напружень може перевищувати граничні з точки зору руйнування рівні. Тут [4] приклад руйнування скляного бокалу при збудженні коливань інтенсивним звуковим полем.

Резонанс в електричному колі[ред.ред. код]

В електротехніці для опису процесів виробництва, передачі та використання електричної енергії використовують електричні кола, що що включають такі ідеальні елементи, як опір, ємність, індуктивність та джерело електрорушійної сили. В таких колах, де джерело енергії генерує електричний струм, можуть виникати резонансні ефекти, аналогічні описаним для механічних систем [5]

Електричний контур з джерелом струму

На рисунку зображено простий електрисний контур, який називають RLC контуром, що відображає факт включення в коло трьох зосереджених елементів ~ індуктивності L, опору R та ємності C. Якщо в якості основного параметра, що характеризує струм в контурі при періодичній зміні електрорушійної сили, вибрати величину зарада на конденсаторі q, то диференціальне рівняння для його визначення згідно законам Кіргофа, набуває вигляду [6]

L\frac{d^2q}{Dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac{1}{C}q=Ecos\omega t

Це рівняння з точністю до позначень, співпадає з рівнянням (5) , що описує вимушені коливання механічної системи. Зміна в часі величини заряду на конденсаторі повністю повторює зміну в часі величини відхилення маси від положення рівноваги в механічній системі. Власна частота для контура без опору визначається співвідношенням \omega_0^2=1/LC. Саме при співпадінні частоти \omega напруги, що генерується джерелом, з цією частотою буде досягати максимуму амплітуда першої похідної від зараду, т. б. сили струму I.

Це лише один приклад, що ілюструє подібність в поведінці механічних та електричних коливальних систем. Детальний аналіз багатьох подібних ситуацій приведено в цитованій книзі Dynamical Analogies. Такі аналогії між механічними та електричними системами шиороко використовуються при аналізі поведінки складних електро~механічних ситем, особливо в єлектроакустиці [7].

Резонанс в нелінійній системі[ред.ред. код]

При аналізі вимушених коливань нелінійних систем відкрито низку специфічних фізичних ефектів, розвинуто нові методи апналізу математичних моделей в нелінійній механіці, що дає підставу для визначення нелінійної динаміки, як окремого наукового напрямку в сучасному природознавстві. Визначний вплив на формування цього напрямку зробили українські вчені, що належать до наукової школи. створеної академіками М. М. Боголюбовим та Ю. О. Митропольським.

Типова залежність від частоти основної гармоніки при для системи з жорсткою нелінійністю.

Важливі дані про особливості нелінійних резонансів можна одержати при аналізі рівняння (1), для якого можливо одержати наближені аналітичні розв'язки [2]. Однак слід мати на увазі таку важливу обставину, що системи з різним характером нелінійності проявляють різну реакцію на дію періодичної зовнішньої сили. Навіть для однієї системи характер вимушених коливань суттєво залежить від співвідношення величин параметрів — амплітуди зовнішньої сили, характеру нелінійності, величини добротності. Так, при спробі одержати розв'язок рівняння (1) в вигляді суми тригонометричних функцій знаходимо, що в системі генеруються коливання з частотвми  \gamma, 3\gamma, 5\gamma,.... Це так звані супергармоніки. При певних умовах в вдгуку системи можуть збуджуваться, наприклад, коливання з частотою 1/3\gamma. Це~ субгармоніка. Для рівняння (1) при незначній нелінійності (\epsilon \ll 1 в області частот поблизу власної частоти відповідної лінійної системи без демпфування (\gamma \approx 1 можна одержати наближений вираз для амплітуди основної гармоніки в відгуку нелінійної системи жорсткою нелінійністю [2] \xi(\tau)=\xi_1 cos(\gamma \tau)

[1-\gamma^2 +\epsilon \frac{3}{4}\xi_1^2]^2+(\frac{\gamma}{Q})^2=\frac{1}{\xi_1^2}.

Характер визначеної цим співвідношенням залежності амплітуди від частоти подано на приведеному рисунку. Тут по горизонтальній осі відкладалася різниця між значеннями частоти зовнішньої сили і власної частоти лінійної системи. Принциповою відміннюстю цієї кривої від резонансної кривої для лінійної системи є відсутність обнозначної залежності між частотою і амплітудою. Фізично це призводить до того, що система по різному реагує на зовнішню періодичну силу в процезах зміни частоти вимушених коливань від високих частот до нижчих і від нижчих до високих.

Дослідження резонансних явищ в нелінійних системах це лише один із напрямків досліджень в важливому напрямку сучасної механіки - теорії динамічних систем. Особливо активно ведуться дослідження, пов'язані з вивченням закономірностей винекнення в таких системах явища детермінованого хаосу. Хаотична поведінка розв'язків рівняння (1), яке часто назівають рівнянням Дуфінга, та рівнянн, що описує нелінійну систему з нелінійністю в демпфуючій силі (рівняння Ван дер Поля, детально досліджується в монографії [8] Систематичний аналіз загальних властивостей резонансних явищ в нелінійних системах проведено в [9].

Резонанси в системах з розподіленими параметрами ( з нескінченним числом степеней вільності)[ред.ред. код]

Основна особливість резонансних явищ в системах з розподіленими параметрами ілюструється при аналізі вимушених коливань струни довжиною l. Така коливальна система має нескінченній набір власних частот \omega_n=\frac{n\pi}{l} (n=1,2,3,...). Зовнішня періодична розподілена вздовж струни сила задається функцією g(x)cos\omega t= \sum_{n=1}^\infty g_n sin\frac{n\pi x}{l}cos\omega t. Реакція струни на такого типу зовнішню дію виражається формулою [2]

 w(x,t)=A\sum_{n=1}^\infty\frac{g_n}{\omega_n^2-\omega^2}sin\frac{n\pi x}{l}cos\omega t.\quad (7)

З цього виразу випливає основна властивість резонансу в системах з розподіленими параметрами. Для виникнення резонансноя явища недостатньо лише співпадіння частоти зовнішньої сили з однією із власних частот системи. Обов'язково в зовнішньому навагнтаженні має бути присутня складова, що здатна збудити коливання відповідної власної форми. Якщо, наприклад, в зовнішньму навантаженні відсутня складова, що відповідає першій власній формі (g_1=0), то при коливаннях на частоті  \omega=\omega_1 (частота зовнішньої сили дорівнює першій власній частоті системи) ніяких резонансних явищ не спостерігається.

Застосування[ред.ред. код]

Явище резонансу широко використовується в науці й техніці. На ньому ґрунтується робота багатьох радіотехнічних схем та пристроїв, таких як коливні контури. Використовуючи явище резонансу, коли зовнішнє електромагнітне поле збуджує коливання в відповідно налаштованому резонансному контурі приймача, ми обираємо з різноманіття електромагнітних хвиль у просторі навколо нас саме ті, які відповідають нашій улюбленій радіостанції чи телевізійному каналу.

Можливості резонансних систем настільки широко використовуються при створенні машин, приладів, технологій, що задача достатньо повного опису конкретних прикладів є непосильною. Оскільки для опису особливостей резонансу використано механічні системи то можливо вказати певні джерела, знайомство з якими доповнить представлену інформацію і покаже можливості використання знань про коливальні та хвильові процеси при вирішенні інженерних задач. Перш за все вкажемо книгу [10]. Часто коливальні системи використовуються для випромінювання в навколишнє середовище звукових чи ультразвукових сигналів. Прикладами таких ситем є гідроакустичні випромінювачі в активних гідроакустичних ситемах. В умовах резонансу працюють також випромінювачі в системах ультразвукового контролю та діагностики.

Проте не завжди резонанс корисний [11]. Часто можна зустріти посилання на випадки, коли навісні мости ламалися при проходжені по них солдат «в ногу». При цьому посилаються на прояв резонансного ефекту. Ці легенди не мають надійного документального пыдтвердження. Для виникнення резонансних явищ потрібно не лише співпадання частот, а й певні співвідношення стосовно просторового розподілу зовнішных зусиль. Швидше за все такі випадки пов'язані з недостатньою міцністю споруд. Част в якості прикладу негативного прояву резонансних ефектів вказують на руйнування під дією вітру уже сучасного (рік спорудження 1940) Такомського мосту в США. Однак тут причиною руйнування було явище аеродинамічного флатера, яке має іншу природу, ніж описані резонансні явища в механічних системах. При його виникненні демпфування в механічній системі не може обмежити амплітуду коливань.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • В. Т. Грінченко, І. В. Вовк, В. Т. Маципура «Основи акустики» — К: Наукова думка, 2007. −640с.

Примітки[ред.ред. код]

Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.
  1. Kartashova E. Nonlinear Resonance Analysis. Theory, Computation, Application. — Cambridge University Press,2010.—223 p.— ISBN 13:978-0-511-90826-2 (eBook)
  2. а б в г д Грінченко В. Т., Вовк І. В., Маципура І. Т. Основи акустики, Київ.: Наукова думка, 2007, — 640 с., с.546
  3. Краснопольская Т. С., Швец А. Ю.Регулярная и хаотическая динамика систем с ограниченным возбуждением. ~Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2008. ~280 с.ISBN:978-5-93972-619-1
  4. http://ed.ted.com/on/TEDpzivV
  5. Бойко В. С., Бойко В. В.,Видолоб Ю. Ф. та ін.Теоретичні основи електротехніки.~Т.1.Усталені режими лінійних електричних кіл із зосередженими параметрами.~Київ: Політехніка,2004.~272 с.ISBN:966-622-042-3.
  6. Olson H. F.Dynamical Analogies. ~New York:D.Van Nostrand Company,1943.~196 p.
  7. Римский~Корсаков А. В.Электроакустика.~Москва:Связь,1973.~272 с.
  8. Мун Ф.Хаотические колебания.~Москва: Мир,1990.~311 с.~ISBN:5-03-001413-6.
  9. Rajasekar S.,Sanjnan M.A. F.Nonlinear resonance.~Springer,2016.~409 p.~ISBN:978-3-319-24886-8 (eBook)
  10. Фролов К. В.Вибрация — друг или враг?—Москва: Наука,1984.—144 с.
  11. http://kpi.ua/ru/node/7028