Результант

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, результантом двох многочленів і над деяким полем , зі старшими коефіцієнтами рівними одиниці, називається вираз

іншими словами, результант дорівнює добутку попарних різниць між їх коренями. Добуток береться по всіх коренях в алгебраїчному замиканні поля з урахуванням їх кратностей; оскільки вираз, що виходить, є симетричним многочленом від коренів многочленів і (які, можливо не належать полю ), він може бути записаний як многочлен від коефіцієнтів і . Для многочленів, старші коефіцієнти яких ( і відповідно) не обов'язково рівні 1, вищезазначений вираз домножується на

Властивості і способи обчислення[ред.ред. код]

  • Основною властивістю результанта (і його основним застосуванням) є наступне: результант - многочлен від коефіцієнтів і , рівний нулю в тому і лише у тому випадку, коли у многочленів і є спільний корінь (можливо, в деякому розширенні поля ).
  • Результант дорівнює визначнику матриці Сильвестра.
  • Дискримінант многочлена p може бути визначений через результант p і його похідної p'.
де pn — старший коефіцієнт многочлена p.
Для доведення спершу розглянемо випадок pn=1. Тоді маємо і при виконується рівність:
Звідси одержуємо:
Звідси й одержується частковий випадок рівняння. Загальний випадок одержується якщо врахувати, що при домноженні многочлена p на константу pn результант res(p,p') домножується на p2n-1, а дискримінант D(p) домножується на p2n-2
  • Результант рівний добутку значень одного з многочленів на коренях іншого (як і раніше, добуток береться з урахуванням кратності коренів):
  • Якщо і , тоді
  • Якщо є многочленами однакових степенів і ,
тоді  
  •  де  

Посилання[ред.ред. код]