Релеївське розсіювання

Блакить неба й червоне сонце на заході завдячують релеївському розсіянню

Релеївське розсіювання — розсіювання світла тілами з розмірами, меншими за довжину хвилі.

Термін релеївське розсіювання вживається також для позначення розсіювання світла на флуктуаціях густини речовини. Саме таким розсіюванням зумовлений блакитний колір неба й червоний колір сонця на заході.

Релеївське розсіювання пропорційне четвертому степеню частоти. Завдяки цій обставині блакитні промені розсіюються набагато сильніше, ніж червоні.

Переріз розсіяння на атомі

Якщо на систему зарядів падає електромагнітна хвиля, то під її впливом заряди розпочинають рух, який супроводжується випромінюванням у всіх напрямках. Таким чином протікає розсіювання хвилі, що падає. Цей процес характеризується «диференційним перерізом» $d\sigma$, який за визначенням дорівнює відношенню енергії $dI$, що випромінюється системою в даному напрямку тілесного кута

$d\Omega =\sin \theta d\phi$

де $\theta$- та $\phi$- кути у сферичній системі координат, за одиницю часу до густини потоку енергії випромінювання $I$, що падає на систему зарядів:

$d\sigma ={\frac {dI}{I}}$.

Повний переріз розсіювання $\sigma$ знаходиться шляхом інтегрування по всьому простору.

Нехай на атом, наприклад атом водню, падає плоска монохроматична хвиля, в якій напруженість електричного поля $\mathbf {E}$ змінюється з часом за гармонічним законом:

$\mathbf {E} =\mathbf {E_{0}} \sin \omega t$.

Припустимо, що електрон в атомі утримується в положенні рівноваги квазіпружною силою $f=kx$, де $k$ — коефіцієнт жорсткості, а $x$ — зміщення з положення рівноваги, а також швидкість електрона $v$ мала в порівнянні зі швидкістю світла $c$. В рамках даної моделі рівняння руху електрона приймає вигляд:

${\ddot {x}}+\omega _{0}^{2}x=-{\frac {eE_{0}}{m_{0}}}\sin \omega t$

де $\omega _{0}^{2}=k/m_{0}-$ власна частота коливань атома, $m_{0}-$ маса електрона. Тут також враховано, що магнітна складова сили Лоренца $e(\mathbf {v} \times \mathbf {B} )$ мала в порівнянні із силою $e\mathbf {E}$. Розв'язком цього диференційного рівняння руху є функція:

$x={\frac {eE_{0}}{m_{0}(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})}}\sin \omega t$

згідно з якою електрон у квазіпружному атомі під дією електромагнітної хвилі, що падає, здійснює вимушені коливання з частотою цієї хвилі $\omega$. Інтенсивність $dI$ випромінювання атома, що моделюється тут як диполь, у даному напрямі $\theta$ в тілесний кут $d\Omega$ буде:

$dI={\frac {{\ddot {p}}^{2}}{16\pi ^{2}c^{3}\epsilon _{0}}}\sin ^{2}\theta d\Omega ={\frac {e^{4}}{16\pi ^{2}\epsilon _{0}c^{3}m_{0}^{2}}}\cdot {\frac {\omega ^{4}E_{0}^{2}\sin ^{2}\omega t}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}\cdot \sin ^{2}\theta d\Omega ,$

де $\mathbf {p} =e\mathbf {r}$ — дипольний момент, $\theta$ — кут між напрямом поля $\mathbf {E}$ та напрямом розсіювання. Густина потоку енергії електромагнітного поля має вигляд:

$I=\epsilon _{0}cE^{2}=\epsilon _{0}cE_{0}^{2}\sin ^{2}\omega t$

а диференціальний переріз $d\sigma$ визначається виразом:

$d\sigma =\left({\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{0}c^{2}}}\right)^{2}{\frac {\omega ^{4}}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}\sin ^{2}\theta d\Omega .$

Повний переріз розсіювання буде:

$\sigma ={\frac {8\pi }{3}}\left({\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{0}c^{2}}}\right)^{2}{\frac {\omega ^{4}}{(\omega ^{2}-\omega _{0}^{2})^{2}}}$

Тут використано позначення:

$r_{0}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}m_{0}c^{2}}}=2,82\cdot 10^{-15}$ м

для класичного радіуса електрона. Із формули для повного перерізу розсіювання випливає закон Релея: переріз когерентного (без зміни частоти $\omega$) розсіювання електромагнітних хвиль низької частоти, $\omega \ll \omega _{0}$ (оптичний діапазон) прямо пропорційний четвертому степеню $\omega$ або обернено пропорційний $\lambda ^{4}$, де $\lambda =2\pi c/\omega$ — довжина хвилі. Цей закон і пояснює блакитний колір неба (домінування коротких довжин хвиль у розсіяному світлі), а також червоний колір сонця, що заходить (домінування довгих хвиль у світлі, що пройшло через товстий шар атмосфери).

У випадку розсіювання хвиль з великою частотою $\omega \gg \omega _{0}$ (рентгенівські промені) справедлива формула Томсона:

$\sigma ={\frac {8}{3}}\pi r_{0}^{2}$

Тут переріз розсіювання рентгенівських хвиль на атомі не залежить від його властивостей. Це пояснюється тим, що умова $\omega \gg \omega _{0}$ еквівалентна умові $kx\ll eE$, тобто розсіювання протікає на вільному електроні. Цей переріз розсіювання називають перерізом Томсона. Він не залежить від частоти та енергії випромінювання, яке падає.

Див. також

• Томсонівське розсіювання
• Розсіяння Мандельштама—Бріллюена
• Формула Клейна — Нішіни

Література

• Кузьмичев В. Е. Законы и формулы физики.- Киев: Наук. думка, 1989.- 864с.

Посилання

• HyperPhysics description of Rayleigh scattering [Архівовано 2 травня 2013 у WebCite]
• Full physical explanation of sky color, in simple terms [Архівовано 2 листопада 2015 у Wayback Machine.]
• Removing the effects of Rayleigh scattering on a photo in Photoshop [Архівовано 28 жовтня 2012 у Wayback Machine.]