Розбиття числа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Розбиття числа  — це представлення у вигляді суми додатних цілих чисел, які називають частинами. При цьому порядок слідування частин не враховується, тобто розбиття, які відрізняються лише порядком частин, вважаються рівними.

Число розбиттів натурального числа є одним із фундаментальних об'єктів вивчення в теорії чисел.

Приклади[ред. | ред. код]

Наприклад, {3, 1, 1} або {3, 2} — розбиття числа 5, оскільки 5 = 3 + 1 + 1 = 3 + 2. Всього існує розбиттів числа 5: {1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1}, {3, 1, 1}, {3, 2}, {4, 1}, {5}.

Деякі значення числа розбиттів наведені в наступній таблиці [1]:

n p(n) Розбиття
1 1 {1}
2 2 {1, 1}, {2}
3 3 {1, 1, 1}, {2, 1}, {3}
4 5 {1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1}, {2, 2}, {3, 1}, {4}
5 7 {1, 1, 1, 1, 1}, {2, 1, 1, 1}, {2, 2, 1}, {3, 1, 1}, {3, 2}, {4, 1}, {5}
6 11
7 15
8 22
9 30
10 42
20 627
50 204 226
100 190 569 292
1000 24 061 467 864 032 622 473 692 149 727 991

Число розбиттів[ред. | ред. код]

Твірна функція[ред. | ред. код]

Послідовність числа розбиттів має наступну твірну функцію:

Формула була відкрита Ейлером в 1740 році.


Рекурентні формули[ред. | ред. код]

Кількість розбиттів числа на доданки, що не перевищують , задовольняє формулу:

з початковими значення:

для всіх

При цьому кількість всеможливих розбиттів числа дорівнює .

Діаграми Юнга[ред. | ред. код]

Докладніше: Діаграма Юнга

Розбиття зручно представляти у вигляді геометричних об'єктів, які називають діаграмами Юнга, в честь англійського математика Альфреда Юнга. Діаграма Юнга розбиття  — підмножина першого квадранта площини, розбитого на комірки, кожна з яких являє собою одиничний квадрат. Комірки розташовуються в рядочки, перший з них має довжину , над нею розташовується рядочок довжиною , і т.д. до -го рядочка довжиною .

Більш формально, діаграма Юнга — це замикання множини точок таких, що

і

де означає цілу частину .


Застосування[ред. | ред. код]

Розбиття природним чином виникає в ряді математичних задач. Найбільш важливою з них є теорія зображень симетричної групи, де розбиття природньо параметризує всі незвідні зображення. Суми по всім розбиттям часто зустрічаються в математичному аналізі.

Литература[ред. | ред. код]

  1. Шаблон:OEIS long