Розв'язання рівнянь

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Приклад використання метода Ньютона-Рафсона, для вирішення рівняння , що еквівалентно, знаходженню кореня (де — зображена на графіку функція). Метод Ньютона-Рафсона є процедурою, що дозволяє знайти чисельне рішення.
Квадратична формула[en], символічне рішення для квадратного рівняння. Задавши відомі значення коефіцієнтів для розрахунку, можна отримати чисельне рішення для квадратичної формули, що відповідає цим коефіцієнтам.

У математиці розв'язати рівняння означає знайти такий його розв'язок, що значення (числа, функції, множини і т.д.) будуть задовольняти умовам заданого рівняння (що як правило є двома виразами із знаком рівності між ними). При пошуку рішення, одна або кілька вільних змінних позначаються як невідомі. Рішенням рівняння буде знайдення таких виразів для невідомих змінних, що дозволятиме даному рівнянню так що задана ним рівність буде вірною. Іншими словами, рішення є виразом або сукупність виразів (по одному для кожного невідомого) таким чином, коли замінити невідомі, рівняння перетворюється в тотожність.

Розв'язок рівняння може бути числовим або символічним. При чисельному розв'язку, рішення представляється лише у вигляді цифр (а не як вираз за участю змінних), які приймаються за розв'язок. Рівняння матиме символічний розв'язок, якщо за рішення приймаються вирази, які можуть містити відомі змінні або, можливо, також змінні які не були присутні у початковому рівнянні.

Наприклад, рівняння вирішується відносно невідомої , рішенням його є , оскільки підставивши замість в рівняння отримаємо результаті правильне твердження. Крім того, можна прийняти за не відому змінну , тоді рівняння матиме розв'язок або і обидва можуть розглядатися як невідомі, тоді рівняння матиме багато рішень: (x, y) = (а + 1, а) є символічним (параметризованим) рішенням. Якщо задати в це символічне рішення конкретні значення чисел, завжди можна отримати чисельне рішення; наприклад, а = 0 дає (х, у) = (1, 0) (тобто, х = 1 і у = 0) і а = 1 дає (х, у) = (2, 1). Слід зазначити, що відмінність між відомими змінними і невідомими змінними проводиться в постановці завдання, а не рівняння. Проте, в деяких областях математики угода є резервувати деякі змінні, як відомі, так і інших, як невідомо. При написанні поліномів, коефіцієнти зазвичай беруться, щоб бути відомим і невідомих, щоб бути невідомим, але в залежності від завдання, всі змінні можуть припускати яку роль.

Залежно від завдання може вимагатися знайти одне рішення (будь-яке придатне рішення) або всі рішення рівняння. Множина всіх рішень називається безліччю рішень[en]. Крім простого знаходження рішення, може ставитися завдання по знаходженню найкращого рішення рівняння по якомусь параметру. Завдання такого роду називаються завданнями оптимізації. Рішення задач оптимізації, як правило, не називаються «рішеннями рівняння».

Огляд[ред. | ред. код]

У загальному випадку ми маємо наступну ситуацію:

ƒ (x1,...,xn) = c,

де x1,...,xn є невідомими, і c є константою. Його рішення є членами оберненого відображення

ƒ −1[c] = {(a1,...,an) ∈ T1×···×Tn | ƒ (a1,...,an) = c},

де T1×···×Tn є областю функції ƒ. Зверніть увагу, що множина рішень може бути порожньою множиною (там немає рішень), сінґлетоном (тобто рівно одне рішення), скінченне або нескінченне (існує безліч рішень).

Наприклад, рівняння, такі як

3x + 2y = 21z

з невідомими х, у і z, можна вирішити, спершу, за допомогою модифікації рівняння будь-яким чином, зберігаючи при цьому його рівнозначність, наприклад якщо відняти 21z з обох сторін рівняння, отримаємо:

3x + 2y - 21Z = 0

У даному конкретному випадку рішення цього рівняння не буде єдиним, а це є нескінченна множина рішень, які можуть бути записані наступним чином:

{(x, y, z) | 3 x + 2 y − 21 z = 0}.

Одним частковим рішенням рівняння є х = 0, у = 0, z = 0. Двома іншими рішеннями — х = 3, у = 6, z = 1 і x = 8, y = 9, z = 2. Насправді конкретна множина рішень цього рівняння описує площину в тривимірному просторі, що проходить через три точки з наведеними координатами.

Множина рішень[ред. | ред. код]

Основна стаття: безліч рішень[en].

Множиною рішень є такий набір значень, які відповідають заданій системі рівнянь або нерівностей.

Якщо множина рішень є порожньою, то немає таких XI, що рівняння

ƒ (x1,...,xn) = c,

в якому с — задана стала, стає вірним.

Наприклад, розглянемо класичний випадок з однією змінною. За допомогою функції піднесення в квадрат на цілі числа, тобто, функція ƒ домену якого є цілими числами (цілі числа) визначається за формулою:

ƒ (x) = x2,

розглянемо рівняння

ƒ (x) = 2.

Його множиною рішень є {} — порожня множина, бо число 2 не є квадратом цілого числа, так що не існує такого цілого, яке було б розв'язком цього рівняння. Проте, зверніть увагу, що при спробі знайти рішення для цього рівняння, якщо ми змінимо опис функції - більш конкретно, кілька доменів функціонального напряму, ми можемо знайти рішення цього рівняння. Так що, якщо б ми замість того, щоб визначити, що область ƒ складається з дійсних чисел, рівняння вище, має два рішення, і множина її рішення

{√2, −√2}.

Ми вже бачили приклад множини рішень, що може описувати поверхню. Наприклад, при вивченні елементарної математики, відомо, що множина рішень рівняння у вигляді ax + by = c де а, b і c є сталими із множини дійсних значень, а також a і b не дорівнюють нулю, утворює лінію у векторному просторі  R2. Тим не менш, це не завжди буває так, що множину рішень можна легко представити - наприклад, рішенням рівняння, що має вигляд: ax + by + cz + dw = k (abcd, і k дійсні константи) є гіперплощина.

Методи рішення[ред. | ред. код]

Методи вирішення рівнянь, як правило, залежать від типу рівняння, як від виду виразів в рівнянні так і від області визначення, в якій можуть приймати значення невідомі. Різноманітність можливих типів рівнянь є досить великою, і тому відповідних методів їх вирішення також багато. Декілька конкретних типів наведено нижче.

В цілому, для окремих класів рівнянь, може не існувати відомого систематизованого методу розв'язку (алгоритму), який гарантовано буде вирішувати поставлену задачу. е може бути пов'язано з відсутністю необхідних математичних знань на даний момент; деякі математичні задачі були вирішені тільки після багатьох століть зусиль. Але це також може означати, що, взагалі кажучи, такого методу вирішення не може існувати: адже як відомо, деякі математичні задачі, не можливо розв'язати за допомогою якогось чіткого алгоритму, наприклад, десята задача Гільберта[en], її нерозв'язність була доведена в 1970 році.

Для деяких класів рівнянь, були знайдені алгоритми для їх вирішення, деякі з яких були реалізовані і додані в існуючі системи комп'ютерної алгебри, але часто не вимагають застосування складніших підходів ніж прості розрахунки, які можна виконати за допомогою олівця та паперу. У деяких інших випадках, евристичні методи відомі, що часто успішно, але не гарантовано призведе до успіху.

Метод перебору, методом проб і помилок, натхненна думка[ред. | ред. код]

Якщо множину рішень рівняння обмежено скінченною множиною (як це відбувається для рівнянь в модульної арифметики, наприклад), або може бути обмежений скінченним числом можливостей (як у випадку з деякими діофантових рівнянь), то множина рішень може бути знайдено за допомогою повного перебору, тобто, шляхом тестування кожного з можливих значень (кандидат рішень). Це може бути випадок, проте, що число можливостей слід розглядати, хоча і звичайно, настільки великий, що вичерпний пошук практично не представляється можливим; це, по суті, є обов'язковою вимогою для сильних методів шифрування.

Як і у всіх інших методах розв'язання задач, метод спроб і помилок може іноді приводити до такого рішення, зокрема, коли форма рівняння, або його схожість з іншим рівнянням з відомим рішенням, може привести до здогадки при вирішенні. Якщо винесене припущення, при тестуванні, може бути не вірним рішенням, вивчення того, чому саме це рішення зазнає невдачі, може привести до іншого видозміненого здогаду.

Елементарна алгебра[ред. | ред. код]

Рівняння, що складаються із лінійних або простих раціональні функції з одним дійсним невідомим, скажімо x, такі як

або

може бути вирішують за допомогою методів елементарної алгебри.

Системи лінійних рівнянь[ред. | ред. код]

Невеликі системи лінійних рівнянь можливо вирішувати методами елементарної алгебри, аналогічно звичайним рівнянням. Для вирішення великих систем використовуються алгоритми засновані на методах лінійної алгебри.

Алгебраїчні рівняння[ред. | ред. код]

Для алгебраїчних рівняннь (поліноміальні) до четвертого ступеня можливо знайти точний розв'язок за допомогою алгебраїчних методів, з яких найпростішим прикладом є квадратична формула[en]. Поліноміальних рівнянь зі ступенем п'яти або вище, вимагають в загальних чисельних методів (див нижче) або спеціальних функцій, таких як корінь Бринга[en], хоча деякі конкретні випадки можуть бути розв'язані алгебраїчних, наприклад,

4x5 − x3 − 3 = 0

(За допомогою теореми про раціональний корінь[en]), і

x6 − 5x3 + 6 = 0,

(За допомогою підстановки x = z1/3, що спрощує це квадратне рівняння в z).

Діофантові рівняння[ред. | ред. код]

Діофантові рівняння, це рівняння в яких передбачають, що рішення повинні бути цілими числами. У деяких випадках можливо застосувати метод грубої сили, який згадувалося вище. У деяких інших випадках, зокрема, якщо рівняння має одне невідоме, можна вирішити рівняння для раціональних багатозначних невідомих (дивитись теореми про раціональний корінь[en] ), а потім знайти рішення діофантового рівняння, обмежуючи набір рішень до набору рішень з цілими значеннями. Наприклад, поліноміальне рівняння

має раціональні розв'язки х = -1/2 і х = 3, а коли розглядається як діофантове рівняння, воно має єдиний розв'язок х = 3.

Загалом, однак, діофантові рівняння є одними з найскладніших рівнянь для вирішення.

Зворотні функції[ред. | ред. код]

У найпростішому випадку функції однієї змінної, скажімо, h (х), ми можемо вирішити рівняння виду

h(x) = c, де c є сталою

шляхом розгляду того, що відомо як зворотна функція h.

З огляду на функцію h : A → B, зворотну функцію, що позначається h−1, визначається як h−1 : B → A є функція така, що

h−1(h(x)) = h(h−1(x)) = x.
x = h−1(c)

Тепер, якщо застосувати зворотну функцію до обох сторін

h(x) = c, де c є постійною величиною в B,

ми отримуємо

h−1(h(x)) = h−1(c)

і ми знайшли рішення рівняння. Проте, в залежності від функції, зворотне може бути важко визначити, чи не може бути функцією від усіх множини В (тільки на деякій підмножині), і мають багато значень в якийсь момент. Якщо тільки одне рішення буде робити, замість повного набору рішень, це насправді досить, якщо тільки функціональної ідентичності

π1(xy) = c

тримає. Наприклад, проекція π1 : R2 → R визначається π1(xy) = x не має будь-яких зворотне, але він має попередньо зворотний π1−1 визначається π1−1(x) = (x, 0). Дійсно, рівняння

π1(xy) = c

вирішується наступним чином

(xy) = π1−1(c) = (c, 0).

Приклади обернених функцій містять корінь n-го степеня (що є оберненим до xn); логарифм (обернена до ax); зворотні тригонометричні функції; і W-функція Ламберта (обернена до xex).

Факторизація[ред. | ред. код]

Якщо ліва частина рівняння Р = 0 і її можна розкласти, у вигляді P = QR, множина рішень вихідного рівняння є поєднанням множин рішень двох рівнянь Q = 0 і R = 0. Наприклад, рівняння:

можна переписати, використовуючи тотожність tan x cot x = 1, наступним чином:

Яке можна факторизувати наступним чином

Рішення, таким чином, буде еквівалентне розв'язанню рівняння tan x = 1, і, таким є чином, множиною:

Чисельні методи[ред. | ред. код]

Див. також: Чисельні методи

Іноді рівняння, що зустрічаються при вирішенні практичних задач, не мають точного аналітичного рішення. При вирішенні складних рівнянь дійсних або комплексних змінних, прості методи вирішення рівняння можуть зазнати невдачі. В таких випадках приходять до ітеративних методів пошуку наближеного значення. Можуть бути використані такі методи як метод простої ітерації, методу Ньютона-Рафсона, або інші Чисельні методи, щоб знайти наближене чисельне рішення рівняння, яке для деяких застосувань, може бути цілком достатнім.

Матричні рівняння[ред. | ред. код]

Рівняння, що включають матриці і вектори дійсних чисел часто можуть бути вирішені за допомогою методів лінійної алгебри.

Диференціальні рівняння[ред. | ред. код]

Існує величезна кількість методів для вирішення різних диференціальних рівнянь, чисельним і аналітичним способами. Конкретний клас проблем, які розглядаються в цьому напрямку відносяться до інтегрування, і аналітичні вирішення такого роду проблем, тепер називають символічним інтегруванням[en].

Див. також[ред. | ред. код]