Розв'язання рівнянь

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Приклад використання метода Ньютона-Рафсона для вирішення рівняння , що еквівалентно знаходженню кореня функції (де  — зображена на графіку функція). Метод Ньютона-Рафсона є процедурою, що дозволяє знайти числове рішення.
Квадратична формула[en] — символьне рішення для квадратного рівняння. Задавши відомі значення коефіцієнтів, можна отримати числове рішення для квадратичної формули, що відповідає цим коефіцієнтам.

У математиці розв'язати рівняння означає знайти такі його розв'язки, які являють собою значення (числа, функції, множини й т. д.), що задовольняють умові заданого рівняння, воно, як правило, є двома виразами зі знаком рівності між ними. При пошуку рішення одна або кілька вільних змінних позначаються як невідомі. Процесом розв'язання рівняння буде знаходження таких виразів для невідомих змінних, що задовольнятимуть даному рівнянню так, що задана ними рівність буде виконуватися. Іншими словами, рішенням є вираз або сукупність виразів (по одному для кожного невідомого), така, що за умови заміни невідомих рівняння перетворюється на рівність. Рішення рівняння часто називають коренем рівняння, особливо, але не лише для алгебричних рівнянь.

Розв'язок рівняння може бути числовим або символьним. При числовому розв'язку рішення представляється лише у вигляді цифр (а не як вираз за участю змінних). Рівняння матиме символьний розв'язок, якщо за рішення приймаються вирази, які можуть містити відомі змінні або, можливо, також змінні, які не були присутні в початковому рівнянні.

Наприклад, рівняння x + y = 2x – 1 розв'язується відносно невідомої x, його рішенням є x = y + 1, оскільки підставивши y + 1 замість x в рівняння отримаємо в результаті (y + 1) + y = 2(y + 1) – 1, правильне твердження. Крім того, можна прийняти за невідому змінну y, тоді рівняння матиме розв'язок y = x – 1 або x і y обидва можуть розглядатися як невідомі, тоді рівняння матиме багато рішень: (x, y) = (a + 1, a) є символьним (параметризованим) рішенням. Якщо задати в це символьне рішення конкретні значення чисел, завжди можна отримати числове рішення; наприклад, a = 0 дає (x, y) = (1, 0) (тобто, x = 1 і y = 0) та a = 1 дає (x, y) = (2, 1).

Різниця між відомими та невідомими змінними зазвичай проводиться в формулюванні завдання за допомогою таких фраз, як «рівняння в x і y» або «вирішити для x і y», які вказують на невідомі, тут x і y. Однак зазвичай заведено використовувати x, y, z, … для позначення невідомих, відповідно a, b, c, … для позначення відомих змінних, які часто називають параметрами. Так роблять при розгляді поліноміальних рівнянь, наприклад, квадратних рівнянь. Однак, для деяких завдань всі змінні можуть грати будь-яку роль.

Залежно від завдання може вимагатися знайти одне (будь-яке придатне рішення) або декілька (всі) рішення рівняння. Множина всіх рішень називається множиною рішень[en]. Крім простого знаходження рішення, може ставитися завдання по знаходженню найкращого рішення рівняння по якомусь параметру. Завдання такого роду називаються завданнями оптимізації. Розв'язання задач оптимізації, як правило, не називається «рішенням рівняння».

Огляд[ред. | ред. код]

У загальному випадку ми маємо наступну ситуацію:

де x1, ..., xn — невідомі, і c — константа. Рішення цієї ситуації є елементами оберненого відображення.

де D є областю визначення функції f. Зверніть увагу на те, що множина рішень може бути порожньою множиною (коли немає рішень), сінґлетоном (тобто, рівно одне рішення), скінченною або нескінченною (існує декілька або ж безліч рішень).

Наприклад рівняння, такі як:

з невідомими x, y і z, можна розв'язати, спершу, за допомогою перетворення рівняння будь-яким чином, зберігаючи при цьому його рівнозначність, наприклад, якщо відняти 21z з обох частин рівняння, отримаємо:

У даному конкретному випадку рішення цього рівняння не буде єдиним, а саме, існує нескінченна множина рішень, які можуть бути записані наступним чином:

Одним частковим рішенням рівняння є x = 0, y = 0, z = 0. Двома іншими рішеннями — x = 3, y = 6, z = 1 і x = 8, y = 9, z = 2. Множина рішень цього рівняння — це площина в тривимірному просторі, що проходить через три точки з наведеними координатами.

Множина рішень[ред. | ред. код]

Множина рішень рівняння x24 + y2 = 1 утворює еліпс, якщо інтерпретувати його як множину пар декартових координат.
Докладніше: Множина рішень[en]

Множина рішень даної множини рівнянь або нерівностей — це сукупність усіх її розв'язків, кожен з яких є кортежем значень, по одному для кожного невідомого, що задовольняє всі рівняння або нерівності. Якщо множина рішень порожня, то немає значень невідомих, які задовольняють одночасно всі рівняння та нерівності.

Для простого прикладу розглянемо рівняння

Це рівняння можна розглядати як діофантове рівняння, тобто рівняння, для якого шукаються лише цілочисельні рішення. У цьому випадку множиною рішень є порожня множина, оскільки 2 не є квадратом цілого числа. Однак, якщо шукати дійсні розв'язки, є два розв'язки, та . Іншими словами, множина рішень — .

Коли рівняння містить декілька невідомих змінних або коли є декілька рівнянь, але кількість невідомих, більша за кількість рівнянь, тоді множина розв'язків часто є нескінченною. У цьому випадку не можливо перерахувати рішення. Для запису рішень часто корисно використовувати параметризацію, яка полягає у вираженні рішень через деякі невідомі або допоміжні змінні. Це завжди можливо, коли всі рівняння є лінійними.

Такі нескінченні множини розв'язків можна природно інтерпретувати як геометричні фігури, такі як прямі, криві (див. малюнок), площини та, загальніше, алгебраїчні многовиди чи многовиди. Зокрема, алгебричну геометрію можна розглядати як вивчення множин розв'язків алгебричних рівнянь.

Ми вже бачили приклад множини рішень, що може описувати поверхню. Наприклад, при вивченні елементарної математики відомо, що множина рішень рівняння у вигляді ax + by = c, де а, b і c є сталими дійсними числами, а також a і b не дорівнюють нулю, утворює пряму у векторному просторі  R2. Тим не менш, не завжди буває так, що множину рішень можна легко представити — наприклад, рішенням рівняння, що має вигляд: ax + by + cz + dw = k (abcd, і k дійсні константи) є гіперплощина.

Методи розв'язку[ред. | ред. код]

Методи розв'язку рівнянь, як правило, залежать від типу рівняння, як від виду виразів в рівнянні, так і від області визначення, в якій можуть приймати значення невідомі. Різноманітність можливих типів рівнянь є досить великою, і тому відповідних методів їх розв'язку також багато. Декілька конкретних типів наведено нижче.

В цілому, для окремих класів рівнянь може не існувати відомого систематизованого методу розв'язку (алгоритму), який гарантовано буде розв'язувати поставлену задачу. Це може бути пов'язано з відсутністю необхідних математичних знань на цей час; деякі математичні задачі були розв'язані тільки після багатовікових зусиль. Але це також може означати, що, взагалі кажучи, такого методу розв'язку не може існувати, адже, як відомо, деякі математичні задачі не можливо розв'язати за допомогою якогось чіткого алгоритму, наприклад, десята задача Гільберта[en], її нерозв'язність була доведена в 1970 році.

Для деяких класів рівнянь були знайдені алгоритми їх розв'язку, деякі з яких були реалізовані й додані до чинних систем комп'ютерної алгебри, але часто не вимагають застосування складніших підходів ніж прості розрахунки, які можна виконати за допомогою олівця та паперу. У деяких інших випадках відомі евристичні методи, що часто бувають успішними, але не гарантують успіху.

Метод перебору, метод проб і помилок, здогадка[ред. | ред. код]

Якщо множина рішень рівняння обмежена скінченною множиною (як це відбувається, наприклад, для рівнянь модульної арифметики), або може бути обмежена скінченним числом можливостей (як у випадку деяких діофантових рівнянь), то множину рішень можна знайти за допомогою повного перебору, тобто шляхом тестування кожного з можливих значень (рішень-кандидатів). Однак може трапитися така ситуація, що кількість можливостей, які слід розглядати, хоча і скінченна, але настільки величезна, що вичерпний пошук практично нездійсненний; це, по суті, є вимогою для сильних методів шифрування.

Як і у всіх інших методах розв'язання задач, іноді рішення може бути знайдено методом проб і помилок, зокрема, коли форма рівняння або його схожість з іншим рівнянням з відомим рішенням, може привести до здогадки при розв'язку. Якщо винесене припущення при тестуванні може бути неправильним рішенням, вивчення того, чому саме це рішення зазнає невдачі, може привести до здогадки щодо правильного рішення.

Елементарна алгебра[ред. | ред. код]

Рівняння, що складаються із лінійних або простих раціональних функцій з одним дійсним невідомим, скажімо x, такі як

можуть бути розв'язані за допомогою методів елементарної алгебри.

Системи лінійних рівнянь[ред. | ред. код]

Невеликі системи лінійних рівнянь можливо розв'язувати методами елементарної алгебри, аналогічно звичайним рівнянням. Для розв'язку великих систем використовуються алгоритми засновані на методах лінійної алгебри.

Алгебраїчні рівняння[ред. | ред. код]

Для алгебраїчних (поліноміальних) рівнянь до четвертого ступеня можливо знайти точний розв'язок за допомогою алгебричних методів, найпростішим прикладом є квадратична формула[en]. Поліноміальні рівняння зі ступенем п'ять або вище вимагають загальних чисельних методів (див нижче) або спеціальних функцій, таких як корінь Бринга[en], хоча деякі конкретні випадки можуть бути розв'язані алгебраїчно, наприклад,

(За допомогою теореми про раціональний корінь[en]), і

(За допомогою підстановки x = z13, що спрощує це квадратне рівняння в z).

Діофантові рівняння[ред. | ред. код]

Діофантові рівняння — це рівняння в яких передбачають, що рішення повинні бути цілими числами. У деяких випадках можливо застосувати метод перебору, який згадувався вище. У деяких інших випадках, зокрема, якщо рівняння має одне невідоме, можна розв'язати рівняння для раціональних багатозначних невідомих (дивитись теореми про раціональний корінь[en]), а потім знайти рішення діофантового рівняння, обмежуючи множину рішень до множини рішень з цілими значеннями. Наприклад, поліноміальне рівняння

має раціональні розв'язки x = −12 і x = 3, а коли розглядається як діофантове рівняння, воно має єдиний розв'язок x = 3.

Загалом, діофантові рівняння є одними з найскладніших рівнянь для розв'язку.

Обернені функції[ред. | ред. код]

У найпростішому випадку функції однієї змінної, скажімо, h(x), ми можемо розв'язати рівняння виду

h(x) = c, де c є сталою шляхом розгляду того, що відомо як обернена функція h.

З огляду на функцію h : AB, оберненою функцією, що позначається як h−1 та визначається як h−1 : BA, є функція така, що

Тепер, якщо застосувати обернену функцію до обох частин рівняння h(x) = c, де c є постійною величиною в B, ми отримуємо

і ми знайшли рішення рівняння. Проте, в залежності від функції, обернену функцію може бути важко знайти або вона не може бути функцією від усієї множини В (тільки на деякій підмножині) і має багато значень в якійсь точці.

Якщо потрібно знайти тільки одне рішення, а не всю множину рішень, то достатньо, щоб виконувалася функціональна тотожність

Наприклад, проекція π1 : R2R, яка визначається як π1(x, y) = x, не має будь-яких обернених функцій, але можна визначити функцію π−11 як π−11(x) = (x, 0). Тому можна рівняння

π1(x, y) = c

розв'язується наступним чином:

Приклади обернених функцій містять корінь n-го степеня (що є оберненим до xn), логарифм (обернена до ax), обернені тригонометричні функції і W-функцію Ламберта (обернена до xex).

Розкладання на множники[ред. | ред. код]

Якщо вираз лівої частини рівняння P = 0 можна розкласти на множники у вигляді P = QR, то множина рішень вихідного рівняння є поєднанням множин рішень двох рівнянь Q = 0 і R = 0. Наприклад, рівняння:

можна переписати, використовуючи тотожність , наступним чином:

Яке можна розкласти на множники наступним чином:

Рішення, таким чином, буде еквівалентне розв'язанню рівняння , і, таким чином, є множиною:

Чисельні методи[ред. | ред. код]

Див. також: Чисельні методи

Іноді рівняння, що зустрічаються при розв'язку практичних задач, не мають точного аналітичного рішення. При розв'язку складних рівнянь дійсних або комплексних змінних, прості методи розв'язку рівняння можуть зазнати невдачі. В таких випадках приходять до ітеративних методів пошуку наближеного значення. Можуть бути використані такі методи як метод простої ітерації, метод Ньютона-Рафсона, або інші чисельні методи для пошуку наближеного числового рішення рівняння, якого для деяких застосунків, може бути цілком достатньо.

Матричні рівняння[ред. | ред. код]

Рівняння, що включають матриці і вектори дійсних чисел часто можуть бути розв'язані за допомогою методів лінійної алгебри.

Диференціальні рівняння[ред. | ред. код]

Існує величезна кількість методів розв'язування різних видів диференціальних рівнянь, як чисельним, так і аналітичним способами. Конкретний клас задач, які розглядаються в цьому напрямку належить до інтегрування, і аналітичні розв'язки такого роду задач тепер називають символьним інтегруванням. Рішення диференціальних рівнянь можуть бути неявними або явними[1].

Примітки[ред. | ред. код]

Див. також[ред. | ред. код]