Розв'язна група

В абстрактній алгебрі розв'язні групи — групи що відіграють вирішальну роль в теорії Галуа. Поняття розв'язної групи виникло для опису властивостей груп автоморфізмів тих поліномів, розв'язки яких можуть бути записані у радикалах.

Визначення

Група G називається розв'язною, якщо існує спадний ланцюг підгруп:

\{1\}=G_{0}\subset G_{1}\subset \cdots \subset G_{k}=G

такий, що $\ G_{j-1}$ є нормальною підгрупою $\ G_{j}$ а також факторгрупи $\ G_{j}/G_{j-1}$ для $j=1,2,\dots ,k$ є абелевими.

Якщо H — нормальна підгрупа в G, H розв'язна і факторгрупа G / H розв'язна, тоді і G розв'язна. Зокрема якщо дві групи розв'язні, то їх прямий добуток (і навіть напівпрямий добуток) розв'язний.^[1]
Всяка підгрупа і факторгрупа розв'язної групи розв'язні.^[1]
Якщо порядок скінченної групи ділиться лише на два прості числа, то така група розв'язна.^[1]

Ланцюги нормальних підгруп $S_{n}$ :

$S_{2}$ ${\overset {2}{\longrightarrow }}$ ${e}$ $,\qquad \qquad \qquad (C_{2}=S_{2})$
$S_{3}$ ${\overset {2}{\longrightarrow }}$ $C_{3}$ ${\overset {3}{\longrightarrow }}{e},\qquad \quad (C_{3}=A_{3})$
$S_{4}$ ${\overset {2}{\longrightarrow }}$ $A_{4}$ ${\overset {3}{\longrightarrow }}$ $V_{4}$ ${\overset {2}{\longrightarrow }}C_{2}{\overset {2}{\longrightarrow }}{e}$
$S_{5}$ ${\overset {2}{\longrightarrow }}$ $A_{5}$ ${\overset {60}{\longrightarrow }}{e}$
$S_{6}$ ${\overset {2}{\longrightarrow }}$ $A_{6}$ ${\overset {360}{\longrightarrow }}{e}$