Розкладання на прості дроби

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
(Перенаправлено з Розклад на прості дроби)
Перейти до: навігація, пошук

Розкладання на прості дроби (англ. partial fraction decomposition) алгебраїчного дробу (такого дробу, що чисельник і знаменник обидва многочлени) — це операція, яка складається з вираження дробу як суми многочлена (можливо нуля) і одного або кількох дробів з простішими знаменниками.

Важливість розкладання на прості дроби полягає в тому, що він дає алгоритм для обчислення первісної раціональної функції.

Розкладання на прості дроби можна використати, щоб привести раціональний дріб форми

де ƒ і g є многочленами, до виразу форми

де gj (x) це многочлени які є дільниками g(x), і зазвичай меншого степеню. Отже розклад на прості дроби можна розглядати як процедури обернену до простішої операції додавання алгебраїчних дробів, яка видає єдиний алгебраїчний дріб з числівником і знаменником зазвичай вищого степеню. Повний розклад проводить перетворення так далеко як тільки можливо: інакше кажучи, факторизація g робиться настільки сильно наскільки можливо. Отже, на виході повного розкладу на прості дроби ми маємо суму дробів, де:

  • знаменник кожного терму степінь незвідного многочлена і
  • числівник — многочлен меншого степеня ніж цей незвідний многочлен. Для зменшення степеня числівника напряму можна використати евклідове ділення многочленів, але якщо ƒ меншого степеня ніж g це не допоможе.

Приклади[ред.ред. код]

Приклад 1[ред.ред. код]

Тут знаменник можна розкласти на два відмінних лінійних множники:

Отже ми маємо такий розклад

Множення на x2 + 2x − 3 дає нам таке рівняння

Заміна x = −3 дає A = −1/4 і заміна x = 1 дає B = 1/4, отже

Приклад 2[ред.ред. код]

У висліді ділення многочленів, ми маємо

Оскільки (−4)2 − 4×8 = −16 < 0, множник x2 − 4x + 8 є незвідним і розклад на прості дроби над полем дійсних чисел такий

Множачи на x3 − 4x2 + 8x, отримуємо тотожність

Беручи x = 0, ми бачимо, що 16 = 8A, отже A = 2. Порівнюючи коефіцієнти при x2 ми бачимо, що 4 = A + B = 2 + B, отже B = 2. З порівняння лінійних коефіцієнтів ми бачимо, що −8 = −4A + C = −8 + C, отже C = 0. В підсумку,

Приклад 3[ред.ред. код]

Цей приклад демонструє майже всі можливі хитрощі, які могли б знадобитися в роз'ясненні СКА.

Після ділення многочленів і факторизації знаменника, маємо

Розклад на прості дроби отримує таку форму

Множачи на (x − 1)3(x2 + 1)2 переходимо до тотожних многочленів

Беручи x = 1 отримуємо 4 = 4C, отже C = 1. Так само, беручи x = i отримуємо 2 + 2i = (Fi + G)(2 + 2i), отже Fi + G = 1, звідси F = 0 і G = 1 через прирівнювання дійсних і уявних складових. З C = G = 1 і F = 0, беручи x = 0 ми отримуємо AB + 1 − E − 1 = 0, таким чином E = AB.

Маємо тотожність

Розкриваючи дужки і сортуючи степені x отримуємо

Тепер ми можемо порівняти коефіцієнти і побачити, що

з A = 2 − D і −A −3 D =−4 виходить, що A = D = 1 і з цього B = 0, далі C = 1, E = AB = 1, F = 0 і G = 1.

Отже розклад на прості дроби для ƒ(x) такий

Замість розкривання дужок, інші лінійні залежності коефіцієнтів можна було отримати через обчислення похідних у x=1 і x=i в попередній поліноміальній тотожності. (Для цього згадаймо, що похідна в x=a від (x−a)mp(x) зникає якщо m > 1 і є просто p(a) якщо m=1.) Отже, наприклад, перша похідна в x=1 дає

тобто 8 = 2B + 8 отже B=0.

Див. також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]