Розкриття невизначеностей

Розкриття невизначеностей — методи обчислення границь функцій, заданих формулами, які внаслідок формальної підстановки в них граничних значень аргументу втрачають сенс, тобто переходять у вирази на зразок:

$\left(\infty -\infty \right)$

$\left({\frac {\infty }{\infty }}\right)$

$\left({\frac {0}{0}}\right)$

$\left(0\cdot \infty \right)$

$\left(0^{0}\right)$

$\left(\infty ^{0}\right)$

$\left(1^{\infty }\right)$

(Тут $0$ — нескінченно мала величина, а $\infty$ — нескінченно велика величина)

за якими неможливо з'ясувати, існують чи ні шукані границі, не кажучи вже про знаходження їх значень, якщо вони існують.

Найпотужнішим методом є правило Лопіталя, однак і воно не у всіх випадках дозволяє обчислити границю. До того ж безпосередньо його можна застосувати тільки до другого і третього з перерахованих типів невизначеностей, тобто відношень, і щоб розкрити інші типи, їх треба спочатку звести до одного з цих.

Також для обчислення границь часто використовують розкладання виразів, що входять у досліджувану невизначеність, у ряд Тейлора в околі граничної точки. Для розкриття невизначеностей типів $\left(~0^{0}\right)$, $\left(1^{\infty }\right)$, $\left(\infty ^{0}\right)$ користуються таким прийомом: знаходять границю (натурального) логарифма виразу, що містить дану невизначеність. Як наслідок, тип невизначеності змінюється. Після знаходження границі від неї беруть експоненту.

$\left(~0^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {0}}\right)=\left(e^{0\cdot (-\infty )}\right)$

$\left(~1^{\infty }\right)=\left(e^{\infty \cdot \ln {1}}\right)=\left(e^{\infty \cdot 0}\right)$

$\left(~\infty ^{0}\right)=\left(e^{0\cdot \ln {\infty }}\right)=\left(e^{0\cdot \infty }\right)$

Для розкриття невизначеностей типу ${\frac {\infty }{\infty }}$ використовують такий алгоритм:

1. Виявлення старшого степеня змінної;
2. Ділення на цю змінну як чисельника, так і знаменника.

Для розкриття невизначеностей типу $\left({\frac {0}{0}}\right)$ існує такий алгоритм:

1. Розкладання на множники чисельника і знаменника;
2. Скорочення дробу.

Для розкриття невизначеностей типу $(\infty -\infty )$ іноді зручно застосувати таке перетворення:

нехай $f(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty$ і $g(x){\xrightarrow {x\to a}}\infty$ ;

$\lim _{x\to a}[f(x)-g(x)]=(\infty -\infty )=\lim _{x\to a}\left({\frac {1}{\frac {1}{f(x)}}}-{\frac {1}{\frac {1}{g(x)}}}\right)=\lim _{x\to a}{\frac {{\frac {1}{g(x)}}-{\frac {1}{f(x)}}}{{\frac {1}{g(x)}}\cdot {\frac {1}{f(x)}}}}=\left({\frac {0}{0}}\right)$ .

Невизначеності цього типу можна розкрити з використанням асимптотичних розкладів зменшуваного і від'ємника, при цьому нескінченно великі члени одного порядку мають знищуватися.

При розкритті невизначеностей також застосовуються чудові границі та їх наслідки.

Приклад

$\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}},a>0$ — приклад невизначеності типу $\left({\frac {0}{0}}\right)$ . За правилом Лопіталя $\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {a^{x}\ln a-ax^{a-1}}{1}}=a^{a}(\ln a-1)$. Другий спосіб — додати і відняти в чисельнику $a^{a}$ і двічі застосувати теорему Лагранжа, до функцій $a^{x}$ і $x^{a}$ відповідно:

${\frac {a^{x}-x^{a}}{x-a}}={\frac {a^{x}-a^{a}-(x^{a}-a^{a})}{x-a}}={\frac {a^{c}\ln a(x-a)-ad^{a-1}(x-a)}{x-a}}=a^{c}\ln a-ad^{a-1}$

тут c, d лежать між a і x, тому вони прямують до a при x, що прямує до a, звідси отримуємо ту ж границю, що й у першому способі.

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)