Розмах (статистика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Розмах (англ. range) — в статистиці різниця між найбільшим та найменшим із сукупності числових значень[1][2].

Розмах є однією з найпростіших мір розсіяння (розкиду) набору числових значень. Дає інформацію про ширину інтервалу, в якому зосереджений весь набір числових даних, геометрично - ширина відрізка, в якому розташовуються всі значення.

Простота розрахунку, наочність та інтуїтивна зрозумілість цієї характеристики розсіяння значень є очевидною перевагою перед такими мірами розсіяння як дисперсія та середнє квадратичне відхилення (стандартне відхилення). Істотним недоліком розмаху є те, що він не містить інформацію про характер розподілу результатів в інтервалі розсіяння та не стійкий до викидів, що певною мірою обмежує його використання.

Математичний опис[ред. | ред. код]

Математично розмах вибірки

,

де - відповідно максимальне та мінімальне значення із вибірки.

Розподіл ймовірностей[ред. | ред. код]

Оскільки розмах розраховується через крайні значення вибірки, які є випадковими величинами, він, як і будь-яка інша статистична характеристика, є випадковою величиною. Нехай  — ряд значень вибірки з функцією розподілу та щільністю ймовірностей . В цьому випадку розмах описується функцією розподілу[3]:

.

Розмах та середнє квадратичне відхилення[ред. | ред. код]

Якщо значення вибірки розподілені за нормальним законом, то математичне сподівання розмаху[2]

,

де - середнє квадратичне відхилення,

- деяка функція обсягу вибірки , яка табульована.

Таблиця. Граничні значення коефіцієнту в залежності від обсягу вибірки для ймовірності 0,95[2].

2 3 4 5 6 7 8 9 10
2,77 3,31 3,63 3,86 4,03 4,17 4,29 4,39 4,47

Отже, , що демонструє незміщеність оцінки . За невеликих значень () ця оцінка параметра має значну ефективність, однак за великих вона мало ефективна в порівнянні зі статистичною оцінкою середнього квадратичного відхилення ().

Практичне значення[ред. | ред. код]

Залежність використовується для отримання незміщеної оцінки середнього квадратичного відхилення у випадку малих вибірок в метрології, під час статистичного контролю якості на виробництві, статистичного керування процесами тощо.

Під час контролю технологічних процесів та контролю стабільності процесів вимірювання в лабораторіях широко використовуються як один із найекономічніших типів контрольних карт Шухарта контрольні карти розмахів.

Завдяки простоті розрахунку, наочності та зрозумілості розмах як міра розсіяння також широко використовується в описовій статистиці.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • О. І. Кушлик-Дивульська, Н. В. Поліщук, Б. П. Орел, П. І. Штабалюк. Теорія ймовірностей та математична статистика: навч. посіб. — К. : НТУУ "КПІ", 2014. — 212 с. — ISBN 978-966-622-654-2.
  • Н. В. Смирнов, И. В. Дунин-Барковский. Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений. — М. : "Наука", 1969. — 512 с.(рос.)
  • Gumbel, E. J. (1947). The Distribution of the Range. The Annals of Mathematical Statistics 18 (3): 5142: 384–412. doi:10.1214/aoms/1177730387. (англ.)