Розмірність Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору.[1] Розмірність Лебега простору , зазвичай позначається [1].

Визначення[ред. | ред. код]

Для метричних просторів[ред. | ред. код]

Для компактного метричного простору розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n із такою властивістю, що при будь-якому існує скінченне відкрите -покриття , що має кратність ≤ n + 1[1];

При цьому

  • -покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр , а
  • кратністю скінченного покриття простору називається таке найбільше ціле число , що існує точка простору , що втримується в k елементах даного покриття.

Для топологічних просторів[ред. | ред. код]

Для довільного нормального (зокрема, для метризовного) простору розмірністю Лебега називається найменше ціле число таке, що до всякого скінченного відкритого покриття простору існує вписане в нього (скінченне відкрите) покриття кратності n+1.

При цьому покриття називається вписаним у покриття , якщо кожний елемент покриття є підмножиною хоча б одного елемента покриття .

Приклади[ред. | ред. код]

Історія[ред. | ред. код]

Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність -мірного куба дорівнює . Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту (для класу метричних компактів) дав П. С. Урисон.[1]

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Engelking, Ryszard. Dimension theory. Amsterdam: North-Holland Publ. Co. ISBN 0-444-85176-3. 

Зноски[ред. | ред. код]

  1. а б в г Aleksandrov, P.S. Lebesgue dimension. Encyclopedia of Mathematics. Процитовано 26 вересня 2023.