Розмірність Лебега

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розмі́рність Ле́бега або топологічна розмірність — розмірність, визначена за допомогою покриттів, найважливіший інваріант топологічного простору. Розмірність Лебега простору X, зазвичай позначається \dim X.

Визначення[ред.ред. код]

Для метричних просторів[ред.ред. код]

Для компактного метричного простору X розмірність Лебега визначається як найменше ціле число n із такою властивістю, що при будь-якому \varepsilon>0 існує скінченне відкрите \varepsilon-покриття X, що має кратність ≤ n + 1;

При цьому

  • \varepsilon-покриттям метричного простору називається покриття, усі елементи якого мають діаметр <\varepsilon, а
  • кратністю скінченного покриття простору X називається таке найбільше ціле число k, що існує точка простору X, що втримується в k елементах даного покриття.

Для топологічних просторів[ред.ред. код]

Для довільного нормального (зокрема, для метризовного) простору X розмірністю Лебега називається найменше ціле число n таке, що до всякого скінченного відкритого покриття простору X існує вписане в нього (скінченне відкрите) покриття a кратності n+1.

При цьому покриття \mathcal P називається вписаним у покриття \mathcal Q, якщо кожний елемент покриття \mathcal P є підмножиною хоча б одного елемента покриття \mathcal Q.

Приклади[ред.ред. код]

Історія[ред.ред. код]

Вперше топологічна розмірність введена Анрі Лебегом. Він висловив гіпотезу, що розмірність n-мірного куба дорівнює n. Л. Брауер вперше довів це. Точне визначення інваріанту \dim X (для класу метричних компактів) дав П. С. Урисон.

Див. також[ред.ред. код]