Розмірність Мінковського

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Розмірність Мінковського (англ. box-counting dimension) обмеженої множини в метричному просторі дорівнює

,

де  — мінімальне число множин діаметру , якими можна покрити множину.

Якщо границя не існує, то можна розглядати верхню та нижню границі і говорити відповідно про верхню і нижню розмірності Мінковського.

Близьким до розмірності Мінковського поняттям є розмірність Хаусдорфа. У багатьох випадках ці розмірності збігаються, хоча існують множини, для яких вони різні.

Приклади[ред.ред. код]

  • Розмірність скінченної множини дорівнює нулю, оскільки для неї не перевершує кількості елементів у ній.
  • Розмірність відрізка дорівнює 1, тому що необхідно відрізків довжини , щоб покрити відрізок довжини . Таким чином,
    ,
  • Розмірність квадрата дорівнює 2, так як число квадратиків з діагоналлю , необхідних, щоб покрити квадрат зі стороною , становить приблизно .
  • Розмірність фракталу може бути дробовим числом. Так, розмірність кривої Коха дорівнює .
  • Розмірність множини Мінковського дорівнює 1/2.

Властивості[ред.ред. код]

  • Розмірність Мінковського скінченного об'єднання множин дорівнює максимуму з їх розмірностей. На відміну від розмірності Хаусдорфа, це невірно для зліченного об'єднання. Наприклад, множина раціональних чисел між 0 і 1 має розмірність Мінковського 1, хоча є зліченним об'єднанням одноелементних множин (розмірність кожної з яких дорівнює 0). Приклад замкнутої зліченної множини з ненульовою розмірністю Мінковського наведений вище.
  • Нижня розмірність Мінковського будь-якої множини більше або дорівнює його розмірності Хаусдорфа.
  • Розмірність Мінковського будь-якої множини дорівнює розмірності Мінковського її замикання. Тому має сенс говорити лише про розмірность Мінковського замкнутих множин.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
  • Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000