Розподіл Гаусса — Кузьміна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Розподіл Гаусса — Кузьміна

Функція розподілу ймовірностей
Параметри (нема)
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)
Середнє
Медіана
Мода
Дисперсія
Коефіцієнт асиметрії (не визначена)
Коефіцієнт ексцесу (не визначена)
Ентропія 3.432527514776...[1][2][3]

У математиці, розподіл Гаусса–Кузьміна — це дискретний розподіл ймовірностей, який виникає як границя розподілу ймовірностей коефіцієнтів розширення неперервного дробу рівномірно розподіленої випадкової величини на (0, 1)[4]. Розподіл названо на честь Карла Фрідріха Гаусса, який вивів його близько 1800 року[5], і Родіона Кузьміна, який дав обмеження на швидкість збіжності 1929 року[6][7]. Він задається функцією ймовірности:

Теорема Гаусса–Кузьміна[ред. | ред. код]

Нехай

нескінченний дріб розширення випадкового рівномірно розподіленого на (0, 1) числа х. Тоді

Аналогічно, нехай

тоді

прямує до нуля при n, що прямує до нескінченності.

Швидкість збіжності[ред. | ред. код]

У 1928 році Кузьмін дав границю

У 1929 році Поль Леві[8] її поліпшив

Пізніше, Едуард Вірсинг[en] показав[9], що для λ=0.30366… (стала Гаусса — Кузьміна — Вірсинга[en]), границя

існує для кожного , а функція Ψ(х) є аналітичною і задовольняє Ψ(0)=Ψ(1)=0. Подальші границі були доведені К. І. Бабенком[10].

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Blachman, N. (1984). The continued fraction as an information source (Corresp.). IEEE Transactions on Information Theory 30 (4): 671–674. doi:10.1109/TIT.1984.1056924.  (англ.)
  2. Kornerup, Peter; Matula, David W. (July 1995). LCF: A lexicographic binary representation of the rationals. Journal of Universal Computer Science 1: 484–503. doi:10.1007/978-3-642-80350-5_41.  (англ.)
  3. Vepstas, L. (2008). Entropy of Continued Fractions (Gauss-Kuzmin Entropy).  (англ.)
  4. Weisstein, Eric W. Gauss–Kuzmin Distribution(англ.) на сайті Wolfram MathWorld. (англ.)
  5. Gauss, Johann Carl Friedrich. Werke Sammlung 10/1. с. 552–556.  (англ.)
  6. Kuzmin, R. O. (1928). On a problem of Gauss. Dokl. Akad. Nauk SSSR: 375–380.  (англ.)
  7. Kuzmin, R. O. (1932). On a problem of Gauss. Atti del Congresso Internazionale dei Matematici, Bologna 6: 83–89. (італ.)
  8. Lévy, P. (1929). Sur les lois de probabilité dont dépendant les quotients complets et incomplets d'une fraction continue. Bulletin de la Société Mathématique de France 57: 178–194. JFM 55.0916.02.  (фр.)
  9. Wirsing, E. (1974). On the theorem of Gauss–Kusmin–Lévy and a Frobenius-type theorem for function spaces. Acta Arithmetica 24: 507–528. 
  10. Бабенко, К. И. (1978). “Об одной задаче Гаусса”. Докл. АН СССР. 238:5: 1021–1024. Процитовано 2019-06-21.  (рос.)