Розшарований кодобуток

Розшарований кодобуток (також розшарована сума, амальгама) — поняття в теорії категорій, двоїсте поняттю розшарованого добутку. Розшарований кодобуток єкограницею діаграми, що складається із двох морфізмів f: Z → X, g: Z → Y. Він складається з об'єкта P і двох морфізмів X → P і Y → P, що разом із початковими морфізмами утворюють діаграму, що називається кодекартовим квадратом.

Означення

Нехай f: Z → X, g: Z → Y — морфізми в категорії C. Розшарованим кодобутком для пари морфізмів ( f, g) називається об'єкт P і морфізми i₁ : X → P і i₂ : Y → P для яких діаграма нижче є комутативною:

Окрім того P є універсальним серед об'єктів з цією властивістю. А саме, для будь-якого об'єкта Q з морфізмами j₁, j₂, які доповнюють f, g до комутативного квадрата, існує єдиний морфізм u: P → Q, для якого діаграма нижче є комутативною:

Для розшарованого кодобутку часто використовуються позначення $P=X\sqcup _{Z}Y$ або $P=X+_{Z}Y$.

Як і будь-які універсальні конструкції, розшарований кодобуток не обов'язково існує, але якщо існує, то визначений з точністю до ізоморфізму.

Приклади

• У категорії множин $X\sqcup _{Z}Y$ — диз'юнктне об'єднання X і Y, в якому ототожнюються елементи із однаковим прообразом в Z. Більш точно, $X\sqcup _{Z}Y=X\sqcup Y{\big /}\sim ,$ де ~ — найменше відношення еквівалентності, таке що i₁ ∘ f(z) ~ i₂ ∘ g(z).

• Конструкція склеювання просторів є прикладом побудови розшарованого кодобутку в категорії топологічних просторів. Більш детально, якщо Z — підпростір у Y і g: Z→Y — відповідне відображення включення, то можна «склеїти» Y з X по Z, використовуючи «відображення відповідності» f:Z→X. Одержаний в результаті склеєний простір $X\cup _{f}Y$ є розшарованим кодобутком X і Y.

• Окремим випадком попереднього прикладу є букет просторів X і Y з виділеними точками, де Z є одноточковим простором. Тоді розшарований кодобуток є рівним $X\vee Y$, простору отриманому ідентифікацією виділених точок просторів X і Y.

• В категорії абелевих груп розшаровані кодобутки можна розглядати як прямий сумі абелевих груп «зі склеюванням». А саме, якщо f і g — гомоморфізми із спільною областю визначення Z, то розшарований кодобуток є факторгрупою прямої суми по підгрупі, породженій всіма елементами виду ( f(z), - g(z)). Приблизно те ж саме можна зробити в категорії модулів.

• У категорії груп розшарований кодобуток називається вільним добутком з амальгамацією.

• У категорії комутативних кілець розшарованим кодобутком кілець A, B і гомоморфізмів f : C → A і g : C → B є тензорний добуток кілець $A\otimes _{C}B$ із морфізмами $g':A\rightarrow A\otimes _{C}B$ і $f':B\rightarrow A\otimes _{C}B$ для яких $f'\circ g=g'\circ f$.

Властивості

• Якщо існує розшарований кодобуток A⊔_CB, то існує також розшарований кодобуток B⊔_CA і натуральний ізоморфізм A∪_CB ≅ B∪_CA.
• В абелевій категорії всі кодобутки існують і вони зберігають коядра, а саме якщо (P, i₁, i₂) є розшарованим кодобутком f : Z → X і g : Z → Y, тоді натуральні перетворення coker(f) → coker(i₂) і coker(g) → coker(i₁) є ізоморфізмами.
• Існує натуральний ізоморфізм (A⊔_CB)⊔_B D ≅ A⊔_CD. Більш детально:
  • якщо задано морфізми f : C → A, g : C → B і h : B → D і
  • розшарований кодобуток f і g задано як i : A → P і j : B → P, і
  • розшарований кодобуток j і h задано як k : P → Q і l : D → Q ,
  • тоді розшарований кодобуток f і hg задано як ki : A → Q і l : D → Q.

Графічно це означає, що два кодекартові квадрати розташовані поруч, із одним спільним морфізмом, утворюють більший кодекартів квадрат, якщо ігнорувати спільний морфізм.

• Кодобутки є розшарованими кодобутками із початкового об'єкта; ковирівнювач морфізмів f, g : X → Y є розшарованим кодобутком [f, g] і [1_X, 1_X], тому якщо в категорії є початковий об'єкт і визначені всі розшаровані кодобутки, тоді в ній існують кодобутки і ковирівнювачі.
• Натомість розшарований кодобуток f : Z → X і g : Z → Y можна отримати через кодобутки і ковирівнювачі. Для цього спершу вводиться кодобуток X і Y. Тоді можна розглядати два морфізми із Z у цей кодобуток: морфізм одержаний композицією f і стандартного морфізму з X у кодобуток і морфізм одержаний композицією g і стандартного морфізму з Y у кодобуток. Розшарований кодобуток f і g є рівним ковирівнювачу цих морфізмів.

Див. також

• Кодобуток
• Розшарований добуток

Література

• Adámek, Jiří, Herrlich, Horst, & Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories [Архівовано 21 квітня 2015 у Wayback Machine.] (4.2MB PDF). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6.
• Leinster, Tom (2014). Basic Category Theory. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 143. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-04424-1.