Розшарований кодобуток

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Розшарований кодобуток (також розшарована сума, амальгама) — поняття в теорії категорій, двоїсте поняттю розшарованого добутку. Розшарований кодобуток єкограницею діаграми, що складається із двох морфізмів f: ZX, g: ZY. Він складається з об'єкта P і двох морфізмів XP і YP, що разом із початковими морфізмами утворюють діаграму, що називається кодекартовим квадратом.

Означення[ред. | ред. код]

Нехай f: ZX, g: ZY — морфізми в категорії C. Розшарованим кодобутком для пари морфізмів ( f, g) називається об'єкт P і морфізми i1 : XP і i2 : YP для яких діаграма нижче є комутативною:

Categorical pushout.svg

Окрім того P є універсальним серед об'єктів з цією властивістю. А саме, для будь-якого об'єкта Q з морфізмами j1, j2, які доповнюють f, g до комутативного квадрата, існує єдиний морфізм u: PQ, для якого діаграма нижче є комутативною:

Categorical pushout (expanded).svg

Для розшарованого кодобутку часто використовуються позначення або .

Як і будь-які універсальні конструкції, розшарований кодобуток не обов'язково існує, але якщо існує, то визначений з точністю до ізоморфізму.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Конструкція склеювання просторів є прикладом побудови розшарованого кодобутку в категорії топологічних просторів. Більш детально, якщо Z — підпростір у Y і g: ZY — відповідне відображення включення, то можна «склеїти» Y з X по Z, використовуючи «відображення відповідності» f:ZX. Одержаний в результаті склеєний простір є розшарованим кодобутком X і Y.
  • Окремим випадком попереднього прикладу є букет просторів X і Y з виділеними точками, де Z є одноточковим простором. Тоді розшарований кодобуток є рівним , простору отриманому ідентифікацією виділених точок просторів X і Y.
  • В категорії абелевих груп розшаровані кодобутки можна розглядати як прямий сумі абелевих груп «зі склеюванням». А саме, якщо f і g — гомоморфізми із спільною областю визначення Z, то розшарований кодобуток є факторгрупою прямої суми по підгрупі, породженій всіма елементами виду ( f(z), - g(z)). Приблизно те ж саме можна зробити в категорії модулів.
  • У категорії комутативних кілець розшарованим кодобутком кілець A, B і гомоморфізмів f : CA і g : CB є тензорний добуток кілець із морфізмами і для яких .

Властивості[ред. | ред. код]

  • Якщо існує розшарований кодобуток ACB, то існує також розшарований кодобуток BCA і натуральний ізоморфізм ACBBCA.
  • В абелевій категорії всі кодобутки існують і вони зберігають коядра, а саме якщо (P, i1, i2) є розшарованим кодобутком f : ZX і g : ZY, тоді натуральні перетворення coker(f) → coker(i2) і coker(g) → coker(i1) є ізоморфізмами.
  • Існує натуральний ізоморфізм (ACB)⊔B DACD. Більш детально:
    • якщо задано морфізми f : CA, g : CB і h : BD і
    • розшарований кодобуток f і g задано як i : AP і j : BP, і
    • розшарований кодобуток j і h задано як k : PQ і l : DQ ,
    • тоді розшарований кодобуток f і hg задано як ki : AQ і l : DQ.
Графічно це означає, що два кодекартові квадрати розташовані поруч, із одним спільним морфізмом, утворюють більший кодекартів квадрат, якщо ігнорувати спільний морфізм.
  • Кодобутки є розшарованими кодобутками із початкового об'єкта; ковирівнювач морфізмів f, g : XY є розшарованим кодобутком [f, g] і [1X, 1X], тому якщо в категорії є початковий об'єкт і визначені всі розшаровані кодобутки, тоді в ній існують кодобутки і ковирівнювачі.
  • Натомість розшарований кодобуток f : ZX і g : ZY можна отримати через кодобутки і ковирівнювачі. Для цього спершу вводиться кодобуток X і Y. Тоді можна розглядати два морфізми із Z у цей кодобуток: морфізм одержаний композицією f і стандартного морфізму з X у кодобуток і морфізм одержаний композицією g і стандартного морфізму з Y у кодобуток. Розшарований кодобуток f і g є рівним ковирівнювачу цих морфізмів.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]