Розшарування (теорія гомотопій)

У алгебричній топології, розділі математики, розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, кофібрацією) називається неперервне відображення топологічних просторів, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для кожного топологічного простору. Розшарування відіграють важливу роль у теорії гомотопій, підобласті алгебричної топології. Грубо кажучи, розшарування є парою просторів із відображенням одного на інше, де будь-яку гомотопію у просторі на який здійснюється відображення можна перенести вздовж даного відображення на вихідний простір відображення.

Пов'язаними є також поняття розшарування Серра і квазірозшарування.

Означення

Розшарування Гуревича

Розшаруванням (також розшаруванням Гуревича, фібрацією) називається неперервне відображення $p\colon E\longrightarrow B$, яке має властивість підняття гомотопії для всіх топологічних просторів $X$. Тобто для топологічного простору $X$ і всіх неперервних відображень

$f\colon X\times I\longrightarrow B$

і неперервних відображень

${\bar {f}}\colon X\times \{0\}\to E$,

для яких діаграма

${\begin{matrix}\qquad {\bar {f}}\colon X\times \{0\}&\longrightarrow &E\\\operatorname {incl} {\bigg \downarrow }&&{\bigg \downarrow }p\\\qquad f\colon X\times I\ &\longrightarrow &B\end{matrix}}$

є комутативною, існує відображення

$F\colon X\times I\longrightarrow E$

для якого $f=p\circ F$ і $F|_{X\times \{0\}}={\bar {f}}$. Таке відображення називається накриваючою гомотопією.

Простір $E$ називається загальним простором, $B$ — базовим простором розшарування. Прообраз $p^{-1}(b)$ точки $b\in B$ називається шаром над $b$.

Якщо базовий простір $B$ є лінійно зв'язаним, то шари над різними точками $B$ є гомотопно еквівалентними.

Розшарування Серра

Розшарування Серра — неперервне відображення $p\colon E\longrightarrow B$, яке задовольняє властивість підняття гомотопії для всіх CW-Комплексів $X$.

Для цього достатнім (і, отже, еквівалентним) є факт виконання властивості підняття гомотопії для просторів $X=\left[0,1\right]^{n}$ для $n=0,1,2,\ldots$. Звідси також еквівалентною є вимога виконання властивості підняття гомотопії для всіх поліедрів — топологічних просторів гомеоморфних симпліційним комплексам. Це твердження також часто використовується для означення розшарування Серра.

Квазірозшарування

Квазірозшаруванням називається неперервне відображення $p\colon E\longrightarrow B$, для якого породжений гомоморфізм відносних гомотопічних груп

$p_{*}:\pi _{i}(E,p^{-1}(x);y)\rightarrow \pi _{i}(B,x)$

для усіх $x\in B,y\in p^{-1}(x)$ і всіх $i\geqslant 0$ є ізоморфізмом.

Якщо базовий простір є лінійно зв'язаним, то всі шари квазірозшарування є слабко гомотопно еквівалентними.

Кожне розшарування Серра є квазірозшаруванням.

Приклади

• Нехай $F$ — будь-який топологічний простір і

$p:B\times F\to B$

є проєкцією на перший фактор. Тоді $p$ є розшаруванням Гуревича.

• Розшарування Гопфа історично було одним із перших нетривіальних прикладів розшарування.
• Розшарування Гопфа є частковим випадком розшарувань над комплексними проєктивними просторами виду $p:S^{2n+1}\to \mathbf {CP} ^{n}$ із шарами $S^{1}.$ Розшарування Гопфа є частковим випадком для n=1 оскільки ${CP}^{1}$ є гомеоморфним сфері.
• Ще одним узагальненням розшарування Гопфа, є розшарування над кватерніонним проєктивним простором $p:S^{4n+3}\to \mathbf {HP} ^{n}$ із шарами $Sp^{1},$ тобто групою одиничних кватерніонів.
• Розшарування Серра $p:SO(3)\to S^{2}$ одержується із дії групи поворотів SO(3) на сфері S². Шари цього розшарування є рівними SO(2). Як топологічний простір SO(3) є гомеоморфним дійсному проєктивному простору RP³ і тому S³ є подвійним накриттям SO(3). Звідси випливає, що розшарування Гопфа є універсальним накриттям.
• Попередній приклад можна узагальнити на розшарування $p:SO(n+1)\to S^{n}$ із шарами SO(n) для будь-якого невід'ємного цілого числа n (хоча шари не є одноточковими лише для n > 1) яке одержується із дії спеціальної ортогональної групи SO(n+1) на n-гіперсфері.
• Кожне накриття топологічного простору є розшаруванням Гуревича.
• Більш загально, кожне локально тривіальне розшарування є розшаруванням Серра. У цьому випадку шари для різних точок не тільки є гомотопно еквівалентними але і гомеоморфними.
• Є приклади локально тривіальних розшарувань, які не є розшаруваннями Гуревича. Проте якщо базовий простір є паракомпактним то локально тривіальне розшарування є розшаруванням Гуревича.
• Приклад розшарування Серра, що не є розшаруванням Гуревича можна одержати якщо взяти $E=\{(x,y):x=y,x\in I\}\cup \bigcup _{n\in \mathbb {N} \atop n>0}\{(x,y):x\in I,y=1+1/n\}$ і $B=I=\{x:0\leq x\leq 1\}.$ Тоді відображення $p(x,y)=x$ є розшаруванням Серра але шари $p^{-1}(0)$ і $p^{-1}(1)$ не є гомотопно еквівалентними, тому воно не є розшаруванням Гуревича.
• Приклад квазірозшарування, що не є розшаруванням Серра можна одержати якщо взяти $E=\left([-1,0]\times \{1\}\cup \{0\}\times [0,1]\cup [0,1]\times \{0\}\right)$ і $B=[-1,1].$ Тоді відображення $p(x,y)=x$ є квазірозшаруванням але не розшаруванням Серра.

Довга точна гомотопічна послідовність

Для розшарувань Серра (а також, більш загально, для квазірозшарувань) для $p:E\rightarrow B$ існує довга точна послідовність група гомотопії n

$\ldots \rightarrow \pi _{n+1}(B,y)\rightarrow \pi _{n}(F,x)\rightarrow \pi _{n}(E,x)\rightarrow \pi _{n}(B,y)\rightarrow \pi _{n-1}(F,x)\rightarrow \ldots$.

Тут $x\in E,y=p(x)\in B$ і $F=p^{-1}(x)$ є шаром.

Приклад: розшарування Хопфа $p:S^{3}\rightarrow S^{2}$ із шаром $S^{1}$. Як відомо, $\pi _{n}(S^{1})=0$ для всіх $n\geqslant 2$, з цього випливає $\pi _{n}(S^{3})\cong \pi _{n}(S^{2})$ для всіх $n\geqslant 3$, зокрема $\pi _{3}(S^{2})=\mathbb {Z}$.

Див. також

• Гомотопічні групи
• Кофібрація
• Локально тривіальне розшарування
• Накриваюча гомотопія
• Розшарування Гопфа

Література

• Hatcher, Allen (2002). Algebraic Topology. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0. Архів оригіналу за 20 лютого 2012. Процитовано 14 вересня 2020. 
• Maunder, Charles Richard Francis (1980). Algebraic topology. Cambridge University Press. ISBN 9780521231619. 
• Spanier, Edwin (1966). Algebraic Topology. McGraw-Hill Series in Higher Mathematics. New York: McGraw-Hill. 
• Albrecht Dold, René Thom: Quasifaserungen und unendliche symmetrische Produkte. Ann. of Math. (2) 67 1958 239–281. pdf [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]
• J. P. May.: Weak equivalences and quasifibrations. In Groups of self-equivalences and related topics (Montreal, PQ, 1988), volume 1425 of Lecture Notes in Math., pages 91–101. Springer, Berlin, 1990.
• Jean-Pierre Serre: Homologie singulière des espaces fibrés. Applications. Ann. of Math. (2) 54, (1951). 425–505. pdf [Архівовано 4 березня 2016 у Wayback Machine.]