Розширення Галуа

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Розширення Галуа
Названо на честь Еварист Галуа
Підтримується Вікіпроєктом Вікіпедія:Проєкт:Математика

Розширення Галуаалгебричне розширення , що є нормальним і сепарабельним, тобто алгебричне розширення, для якого нерухоме поле групи автоморфізмів збігається з .

Важливість розширень Галуа полягає в тому, що для них існує група Галуа, й тому виконується основна теорема теорії Галуа.

Пов'язані визначення

[ред. | ред. код]

Група автоморфізмів факторгрупи — це підгрупа групи , яка складається з тих автоморфізмів групи , що переводять елементи підмножини в себе. Позначається .

Для розширення Галуа, група автоморфізмів називається групою Галуа та позначається чи .

Якщо група є абелевою, циклічною тощо, то розширення Галуа називається відповідно абелевим, циклічним тощо.

Властивості

[ред. | ред. код]
кількість автоморфізмів дорівнює степеню розширення.
  • поле розкладу многочлена з коефіцієнтами з .

Іноді розглядають групу Галуа для розширення , яке є сепарабельним, але необов'язково нормальним. В цьому випадку під групою Галуа розуміють групу , де — нормальне замикання , що містить (у скінченному випадку, коли сепарабельне розширення є простим для деякого α, що є коренем незвідного многочлена над . є полем розкладу цього многочлена).

Див. також

[ред. | ред. код]

Література

[ред. | ред. код]