Ромбоікосододекаедр
Ромбоікосододека́едр[1][2][3] — напівправильний багатогранник, який складається з 12 правильних п'ятикутників, 30 квадратів і 20 трикутників, архімедове тіло. Має ікосаедричний тип симетрії. В кожній з вершин сходяться трикутник, п'ятикутник і 2 квадрати.
Ромбоікосододекаедр можна подати як додекаедр, зрізаний за вершинами і ребрами (при цьому трикутники відповідають вершинам додекаедра, а квадрати — ребрам), або як ікосаедр, зрізаний так само (при цьому п'ятикутники відповідають вершинам ікосаедра, а квадрати — ребрам), або ж як зрізаний ікосододекаедр, чим він по суті і є.
Декартові координати вершин ромбоікосододекаедра з довжиною ребра 2 із центром у початку координат є парними перестановками з:[4]
- (± 1, ± 1, ± φ 3),
- (± φ 2, ± φ, ± 2 φ),
- (± (2+ φ), 0, ± φ 2), де φ = 1 + √5/2 являє собою золотий перетин . Отже, радіус описаної сфери цього ромбоікосододекаедра дорівнює відстані цих точок від початку координат, а саме √φ6+2 = √8φ+7 для довжини ребра 2. Для одиничної довжини ребра, зменшивши R удвічі, маємо
- R = √8φ+7/2 = √11+4√5/2 ≈ 2,233.
Ромбоікосододекаедр має шість особливих ортогональних проєкцій, центрованих на вершині, на ребрах двох типів і гранях трьох типів: трикутнику, квадраті та п'ятикутнику. Останні дві відповідають площинам Коксетера А2 і Н2.
| У центрі | Вершина | Ребро
3-4 |
Ребро
5-4 |
Квадратна грань | Трикутна грань | П'ятикутна грань |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Суцільна | 
|
|
| |||
| Каркасна | 
|
|
|
|
|
|
| Проєктивна
симетрія |
[2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
| Дуальне
зображення |
|
|
|
|
|
|
Ромбоікосододекаедр також можна зобразити у вигляді сферичної мозаїки та проєктувати на площину за допомогою стереографічної проєкції . Ця проєкція є конформною, зберігаючи кути, але не площі та довжини. Прямі лінії на кулі проєктуються на площину як дуги кола.
|
 У центрі —п'ятикутник |
 У центрі — трикутник |
 У центрі — квадрат |
| Ортогональна проєкція | Стереографічні проєкції | ||
|---|---|---|---|
| Симетрія: [5,3], (*532) | [5,3]+, (532) | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
   
|
|
|
|
|
|
|
|
| {5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
| Двоїсті до однорідних багатогранників | |||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
| V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V5.6.6 | V3.3.3.3.3 | V3.4.5.4 | V4.6.10 | V3.3.3.3.5 |
- ↑ Веннинджер, 1974, с. 20, 38.
- ↑ Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- ↑ Люстерник, 1956, с. 184.
- ↑ Weisstein, Eric W. Icosahedral group(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, А. И. Маркушевича, А. Я. Хинчина. — М. : Государственное издательство физико-математической литературы, 1963. — С. 382-447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956.