Росток (математика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Росток об'єкта на топологічному просторі висловлює локальні властивості об'єкта. У певному сенсі можна сказати, що це новий об'єкт, який переймає лише локальні властивості об'єкта його породив (найчастіше в ролі таких об'єктів виступають відображення). Очевидно, що різні функції можуть задавати один і той же росток. У такому випадку всі локальні властивості (неперервність, диференційовність і т. д.) у таких функцій збігаються і досить розглядати властивості не самих функцій, а лише їх ростків.

Формальне визначення[ред. | ред. код]

Росток відображень[ред. | ред. код]

Нехай задана точка топологічного простору і два відображення в деяку множину . Тоді кажуть, що і належать одному і тому ж ростку в точці , якщо є такий окіл точки , для якого обмеження функцій і на збігаються. Тобто,

(Тобто ).

Очевидно, що відношення належності до одного ростка в точці є відношенням еквівалентності. Це відношення записується як . Зазвичай його позначають

Залежно від класу регулярності функцій можна розглядати і відповідні класи регулярності ростків — ростки неперервних функцій, ростки диференційовних функцій, ростки аналітичних функцій, паростки постійних функцій. Також поняття ростка поширюється на векторні поля, диференціальні форми і інші подібні об'єкти.

Росток множин[ред. | ред. код]

Аналогічно дві підмножини визначають один і той же росток в , якщо існує окіл точки , такий що:

Росток, що задається множиною , позначають . Відношення належності до одного ростка позначається як .

Дві множини належать одному ростку множин тоді і тільки тоді коли їх характеристичні функції належать одному ростку функцій:

Властивості[ред. | ред. код]

Якщо f і g належать одному ростку в точці x, тоді всі локальні властивості в них однакові, зокрема неперервність, диференційовність, аналітичність і т. д., Тому можна визначати неперервні чи диференційовні ростки в точці.

Якщо множина Y є векторним простором, тоді можна визначати суму ростків і множення на скаляр: для визначення [f]x + [g]x, спершу треба взяти представники ростка f і g, визначені в околах U і V, тоді [f]x + [g]x є ростком в точці x відображення f + g (де f + g визначене на ). Подібно a[f]x є ростком відображення af для деякого скаляра a.

Якщо на множині Y визначено множення то аналогічно до попереднього можна визначити множення ростків. Зокрема для дійснозначних чи комплекснозначних функцій можна визначити алгебру ростків в деякій точці.

Приклади класів ростків функцій[ред. | ред. код]

Якщо і мають додаткову структуру, можна визначити окремі важливі класи ростків функцій.

  • Якщо обидва є топологічними просторами, підмножина
неперервних функцій визначає ростки неперервних функцій.
  • Якщо і є гладкими многовидами, підмножини
-раз неперервно диференційовних функцій, підмножина
гладких функцій і підмножина
аналітичних функцій визначають ростки k-раз диференційовних, гладких, і аналітичних функцій.
  • Якщо мають комплексну структуру (наприклад є підмножинами комплексних векторних просторів), між ними можна визначити голоморфні функцій і відповідно ростки голоморфних функцій.
  • Якщо на задані алгебраїчні структури, між ними можна визначити регулярні і раціональні функції і відповідно ростки регулярних функцій' і ростки раціональних функцій.

Див. також[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Nicolas Bourbaki (1989). General Topology. Chapters 1-4 (вид. paperback). Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2. 
  • Raghavan Narasimhan (1973). Analysis on Real and Complex Manifolds (вид. 2nd). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8. 
  • Robert C. Gunning, Hugo Rossi (1965). Analytic Functions of Several Complex Variables. Prentice-Hall.