Ознака д'Аламбера

Вибрані статті із
Числення
Фундаментальна теорема Границя функції Неперервність Теорема Лагранжа Теорема Ролля Теорема про обернену функцію
Диференціальне Визначення Похідна (Таблиця похідних) Диференціал Поняття Нотація Друга похідна Третя похідна Підстановка змінних Неявна функція Теорема Тейлора Правила та тотожності Сума Добуток Частка Степінь Складена функція Обернена функція Формула Фаа ді Бруно
Інтегральне Таблиця інтегралів Визначення Первісна Інтеграл (невласний Рімана Лебега Стілтьєса Даніелла) Інтегрування частинами дисками Методи інтегрування
Рядів Геометричні (Арифметично-геометричні) Гармонічні Знакопереміжні Степеневі Біноміальні Тейлора Ознаки збіжності Ліміт сумування д'Аламбера Радикальна Інтегральна Теорема Лейбніца Діріхле Абеля
Векторів Градієнт Дивергенція Ротор Оператор Лапласа Похідна за напрямком Формули Теореми Градієнтна Гріна Остроградського Стокса
Багатьох змінних Формалізми Матриці Тензорний Зовнішня похідна Визначення Часткова похідна Багатократний інтеграл Криволінійний інтеграл Поверхневий інтеграл Якобіан Матриця Гессе
Спеціалізоване Дробове Стохастичне Варіаційне
інше Історія Математичний аналіз Нестандартний аналіз

Ознака Д’Аламбера — ознака збіжності числових рядів встановлена Жаном Д’Аламбером в 1768 році:

Якщо для числового ряду $\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ існує таке число $q$, $0<q<1$, що починаючи з деякого номера виконується нерівність $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\leq q,$ то даний ряд абсолютно збігається; якщо ж, починаючи з деякого номера $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1,$ то ряд розбігається.

Зокрема, якщо існує границя

$\rho =\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|,$

(1)

то ряд, що розглядається, абсолютно збіжний якщо $\rho <1$, а якщо $\rho >1$ — розбіжний (ознака збіжності Д’Аламбера у граничній формі). Якщо $\rho =1$ або границя не існує - тест не дає результату, бо ряди які відповідають таким випадкам можуть бути як збіжні, так і розбіжні.

Ознаку д'Аламбера можна застосувати і в випадках, коли границя $\rho$ не існує або дорівнює одиниці, якщо використати верхню і нижню границі. Нехай:

$R=\varlimsup _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$

$r=\varliminf _{n\to \infty }\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|$.

Тоді:

• якщо R < 1, ряд абсолютно збіжний;
• якщо r > 1, ряд розбіжний;
• якщо $\left|{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right|\geq 1$ для всіх великих n (незалежно від значення r), ряд теж розбіжний тому що $|a_{n}|$ ненульове і зрозстаюче, а тому a_n не наближається до нуля;
• інакше результат не визначений.

Якщо границя $\rho$ в (1) існує, то $\rho =R=r$. Таким чином ознака з верхньою і нижньою границею включає в себе ознаку зі звичайною границею.

Приклади

1. Ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$

абсолютно збіжний для всіх комплексних $z$, бо

$\lim \left|{\frac {{z^{n+1}}/{(n+1)!}}{{z^{n}}/{n!}}}\right|=\lim {\frac {|z|}{n+1}}=0,$

2. Ряд

$\sum _{n=0}^{\infty }n!\;z^{n}$

розбігається при всіх $z\not =0$, бо

$\lim \left|{\frac {(n+1)!\;z^{n+1}}{n!\;z^{n}}}\right|=\lim |(n+1)z|=\infty .$

3. Якщо $\rho =1$, то ряд може як збігатися, так і розбігатися: обидва ряди

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n}}$     і     $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}$

задовольняють цю умову, причому перший ряд розбіжний, а другий збіжний.

Розширення для ρ = 1

Як було видно вище, ознака не визначена коли границя дорівнює 1. Розширення ознаки д'Аламбера іноді дозволяють розібратися з такими випадками.

У всіх ознаках нижче, вважаємо що Σa_n це сума додатніх a_n. Такі ознаки можна також застосовувати до будь-яких рядів зі скінченним числом від'ємних членів. Такі ряди можна записати як:

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}+\sum _{n=N+1}^{\infty }a_{n}$

де a_N - це від'ємний елемент з найбільшим індексом.

Див. також

• Радикальна ознака Коші
• Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2023. — 1900+ с.(укр.)
• Ознака Даламбера (теорема) // Вища математика в прикладах і задачах / Клепко В.Ю., Голець В.Л.. — 2-ге видання. — К. : Центр учбової літератури, 2009. — С. 505. — 594 с.
• d'Alembert, J. (1768), Opuscules, т. V, с. 171—183.
• Apostol, Tom M. (1974), Mathematical analysis (вид. 2nd), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1: §8.14.
• Knopp, Konrad (1956), Infinite Sequences and Series, New York: Dover Publications, Bibcode:1956iss..book.....K, ISBN 978-0-486-60153-3: §3.3, 5.4.
• Rudin, Walter (1976), Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd), New York: McGraw-Hill, Inc., ISBN 978-0-07-054235-8: §3.34.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Bertrand criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Gauss criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Kummer criterion, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), A Course in Modern Analysis (вид. 4th), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58807-2: §2.36, 2.37.