Ряд Лорана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Розклад в ряд Лорана можливий у деякому скінченому кільці, з центром в точці c. Шлях інтегрування γ обирається з кільця, і від вибору того чи іншого шляху інтегрування у фіксованому кільці коефіцієнти розкладу не змінюються.

Ряд Лорана — розклад комплексної функції f(z) у двосторонній степеневий ряд, що також містить доданки від'ємного степеня. Використовується для вираження комплексної функції у випадках, коли розклад в ряд Тейлора не може бути використаним. Ряди Лорана названі на честь П'єра Альфонса Лорана, що вперше опублікував свої дослідження цих рядів у 1843 році. Карл Вейєрштрасс, можливо, використовував ці ряди ще у 1841 році, але не опублікував своїх результатів.

Для комплексної функції f(z), аналітичної у скінченому кільці з центром в точці c, в довільній точці кільця виконується:

де члени ряду an визначаються за формулою:

Шлях інтегрування γ є довільним замкненим контуром, що лежить в кільці і містить точку с.

Властивості[ред.ред. код]

  • Головною частиною ряду Лорана називаються члени з від'ємними степенями:
  • Правильною частиною (Тейлорівською частиною) ряду Лорана називаються члени з невід'ємними степенями:
  • Якщо ряд Лорана збігається, то його внутрішність області збіжності є кільцем:
  • В своємі кільці збіжності ряд Лорана збігається абсолютно.
  • Функція f(z) допускає єдиний розвиток в ряд Лорана в певній точці (якщо він існує).

Теорема Лорана[ред.ред. код]

Функція f(z) однозначна і аналітична в скінченому кільці в довільній точці цього кільця допускає розвинення в збіжний ряд Лорана.

Ряд Лорана є зручним інструментом для оцінки поведінки функції в околі ізольованої особливої точки. В залежності від головної частини ряду, особливу точку визначають як:

  • усувна особлива точка, якщо головна частина не містить ненульових членів;
  • простий полюс, якщо головна частина має скінчену кількість членів;
  • істотньо особлива точка, якщо головна частина має нескінчену кількість членів.

Приклади[ред.ред. код]

Знайти розклад в ряд Лорана в точці функції

Спочатку відзначимо

Далі,

Останній дріб може бути розкладений у геометричну прогресію відносно ,

Множимо прогресію на -i/2, і ділимо обидві частини на z - i:

Як другий приклад можна розкласти в ряд Лорана квадрат вищерозглянутої функції

Для цього необхідно піднести до квадрата отриману для попереднього прикладу прогресію. Зазвичай, піднесення до степеня нескінченної прогресії є складною операцією. Однак для обчислення перших членів ряду Лорана, нам достатньо перемножити між собою перші членів вихідної прогресії: