Ряд Меркатора
У математиці ряд Меркатора (або ряд Ньютона — Меркатора) є рядом Тейлора для натурального логарифма:
або з використанням позначень суми:
Ряд Меркатора збігається при , хоча збіжність досить повільна. При ряд збігається абсолютно.
У 1647 Грегуар де Сен-Венсан виявив зв'язок логарифма і площі під гіперболою (див. рисунок). У 1650 році, виходячи з геометричних міркувань, італійський математик П'єтро Менголі[ru] опублікував у своєму трактаті «Нові арифметичні квадратури» розкладання в нескінченний ряд:[1]
У 1657 році цю формулу незалежно опублікував англійський математик Вільям Браункер в своїй статті «Квадратура гіперболи за допомогою нескінченного ряду раціональних чисел».[1]
У 1668 році німецький математик Ніколас Меркатор (Кауфман), який проживав тоді в Лондоні, в трактаті «Logarithmotechnia» вперше розглянув розкладання в ряд не числа, а функції:[2]
Далі він знайшов площі під лівою і правою частинами цього розкладу (в сучасних термінах, проінтегрував їх) і отримав «ряд Меркатора», який виписав для значень та . Збіжність ряду Меркатор не дослідив, але відразу після виходу в світ праці Меркатора Джон Валліс вказав, що ряд придатний при (від'ємними числами тоді нехтували).
Як виявили історики, Ньютон вивів такий же ряд в 1665 році, але, за своїм звичаєм, не подбав про публікацію[2]. Глибокі дослідження Ньютона в області нескінченних рядів були опубліковані тільки в 1711 році, в трактаті «Аналіз за допомогою рівнянь з нескінченним числом членів».[3]
Ряд можна отримати з теореми Тейлора методом індукції через обчислення -ї похідної функції у точці , починаючи з
Також можна почати з скінченного геометричного ряду ():
з якого отримуємо
З цього випливає, що
і шляхом почленного інтегрування маємо
Якщо , залишковий член прямує до 0 при .
Якщо цей вираз проінтегрувати разів, то отримаємо
де
та
є многочленами змінної .[4]
Якщо у ряді Меркатора покласти , то отримуємо знакозмінний гармонійний ряд[en]
Ряд Меркатора непридатний для реальних розрахунків, так як збігається дуже повільно, причому в обмеженому інтервалі. Але вже в рік публікації роботи Меркатора (1668) Джеймс Грегорі запропонував його модифікований варіант:
Цей ряд збігається набагато швидше, а логарифмований вираз вже може бути будь-яким додатним числом [5]. Наприклад, сума перших 10 членів ряду Меркатора для дорівнює , тут тільки перший десятковий знак вірний, в той час як ряд Грегорі дає значення , в якому вірні 10 знаків з 13.[6].
На комплексній площині ряд Меркатора набуває узагальнений вигляд:
Це ряд Тейлора для комплексної функції , де символ позначає головну вітку (головне значення) комплексного натурального логарифма. Даний ряд збігається в крузі .
Насправді, як видно з ознаки д'Аламбера, ряд має радіус збіжності рівний 1, тому збігається абсолютно у кожному крузі з радіусом . Більше того, він рівномірно збігається на кожному виколотому крузі з . Це відразу випливає з алгебраїчної тотожності:
оскільки ряд у правій частині рівномірно збігається на всьому замкненому одиничному крузі.
- ↑ а б История математики, том II, 1970, с. 158.
- ↑ а б История математики, том II, 1970, с. 158—161.
- ↑ Ньютон И. Математические работы. — М.-Л. : ОНТИ, 1937. — С. 3—24, 25.
- ↑ Medina, Luis A.; Moll, Victor H.; Rowland, Eric S. (2009). Iterated primitives of logarithmic powers. International Journal of Number Theory. 7: 623—634. arXiv:0911.1325. doi:10.1142/S179304211100423X.
- ↑ История математики, том II, 1970.
- ↑ Хайрер Э., Ваннер Г. Математический анализ в свете его истории. — М., 2008. — С. 27. — ISBN 978-5-89176-485-9.
- Weisstein, Eric W. Mercator Series(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Eriksson, Larsson & Wahde. Matematisk analys med tillämpningar, part 3. Gothenburg 2002. p. 10.
- Some Contemporaries of Descartes, Fermat, Pascal and Huygens from A Short Account of the History of Mathematics (4th edition, 1908) by W. W. Rouse Ball.