Рівномірна збіжність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівномірна збіжність послідовності функцій — властивість послідовності , де — довільна множина, метричний простір, збігається до функції (відображення) , що означає, що для будь-якого існує такий номер , що для всіх номерів і всіх точок виконується нерівність

Зазвичай позначається.

Ця умова рівнозначна тому, що

Приклад[ред.ред. код]

  • Послідовність , рівномірно збігається на будь-якому відрізку , і не збігається рівномірно на відрізку .

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо  — нормований простір і послідовності відображень і , рівномірно збігаються на множині , то послідовності також як і при будь-яких також рівномірно збігаются на .
  • Для дійсно-значних функцій, послідовність відображень , рівномірно збігається на множині та обмежене відображення, то послідовність також рівномірно збігається на .
  • Якщо  — топологічний простір,  — метричний простір та послідовність неперервних в точці відображень рівномірно збігається на множині до відображеня , то це відображення також неперервно в точці .
  • Якщо послідовність інтегровних за Ріманом (за Лебегом) функцій рівномірно збігається на відрізку до функції , то ця функція також інтегровна за Ріманом (відповідно за Лебегом), і для кожного має місце рівність
        
    і збіжність послідовності функцій
        
    на відрізку до функції
        
    рівномірна.
  • Якщо послідовність неперервно диференційовних на відрізку функцій , збігається у деякій точці , a послідовність їх похідних рівномірно збігається на , то послідовність також рівномірно збігається на , її границя є неперервно диференційовною функцією на цьому відрізку.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Александров П. С, Введение в теорию множеств и общую топологию, М., 1977;
  • Колмогоров А. Н., Фомин С . В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд.. М., 1981;
  • Келли Дж. Л., Общая топология, пер. с англ., 2 изд., М., 1951.