Рівномірний простір

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

У загальній топології поняття рівномірної структури і рівномірного простору дозволяють узагальнити такі поняття аналізу і, зокрема метричних просторів, як рівномірна збіжність, рівномірна неперервність, повнота на більш широкий клас топологічних просторів. Поняття вперше було введене у 1937 році французьким математиком Андре Вейлем.

Означення[ред. | ред. код]

За допомогою оточень[ред. | ред. код]

Рівномірним простором називається множина з заданою на ній рівномірною структурою. Рівномірною структурою на множині називається непуста сім'я підмножин , які задовольняють такі аксіоми:

  1. Якщо , тоді , де , тобто будь-яка множина містить діагональ.
  2. Якщо і для , то також .
  3. Якщо і , то . Разом із попередньою властивістю це означає, що є фільтром на .
  4. Якщо , то існує , таке що , де .)
  5. Якщо , то , де .

Елементи сім'ї називаються оточеннями (іноді використовується французький термін антураж).

Фундаментальною системою оточень або базою оточень називається сім'я множин така, що кожне оточення містить деяку множину з

За допомогою системи покриттів[ред. | ред. код]

Рівномірна структура на множині може бути визначена також шляхом задання на системи покриттів, що задовольняє наступним аксіомам.

Рівномірним простором називається множина із сім'єю покриттів , що називаються рівномірними покриттями і утворюють фільтр щодо так званого зірчастого упорядкування. За означенням для покриттів і :

.

Аксіоматично сім'я покриттів має задовольняти умови:

  1. є рівномірним покриттям (тобто ).
  2. Якщо і є рівномірним покриттям , то теє є рівномірним покриттям.
  3. Якщо і є рівномірними покриттями, то існує таке рівномірне покриття , що і .

Якщо рівномірна структура на задана системою оточень , то система рівномірних покриттів може бути побудована так. Для будь-якого сім'я (де ) є покриттям . Покриття належить тоді і тільки тоді, коли для деякого оточення . Навпаки для системи рівномірних покриттів систему оточень утворюють множини виду , і всілякі множини, що їх містять.

За допомогою псевдометрик[ред. | ред. код]

Рівномірні простори можна ввести за допомогою псевдометрик, що особливо часто використовується у функціональному аналізі. Для псевдометрики , для різних додатних дійсних чисел множини утворюють фундаментальну систему оточень. Породжена цією фундаментальною системою оточень рівномірна система називається рівномірною системою породженою псевдометрикою

Для сім'ї псевдометрик рівномірна структура породжена сім'єю за означенням є рівною точній верхній границі рівномірних структур породжених кожною псевдометрикою. Фундаментальна система оточень для такої рівномірної структури отримується за допомогою перетинів різних скінченних множин оточень заданих окремими псевдометриками.

Якщо сім'я псевдометрик є скінченною то породжена нею рівномірна структура може бути породженою єдиною псевдометрикою. Також якщо для рівномірної структури існує зліченна фундаментальна система оточень то вона може бути породженою єдиною псевдометрикою. В загальному випадку довільна рівномірна структура може бути породженою деякою (не обов'язково зліченною) сім'єю псевдометрик.

Приклади[ред. | ред. код]

  • Будь-який метричний простір є рівномірним простором. Зокрема це випливає з того, що кожна метрика є псевдометрикою. Фундаментальною системою оточень є, наприклад, множини виду

    Ця рівномірна структура на породжує звичайну топологію метричного простору на . Натомість існує багато різних рівномірних структур, що породжують однакову топологію на . Наприклад добутки метрик на скаляр породжують одну рівномірну структуру. Якщо рівномірна структура є породженою деякою метрикою, то вона називається метризовною. Рівномірна структура є метризовною тоді і тільки тоді коли вона має зліченну фундаментальну систему оточень.
  • Нехай — звичайна метрика на і . Обидві метрики породжують стандартну топологію на , проте породжені ними рівномірні структури є різними, оскільки, наприклад, є оточенням в рівномірній структурі для але не для .
  • Кожна топологічна група (зокрема, кожен топологічний векторний простір) є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину для деякого околу одиничного елемента групи . Ця рівномірна структура на називається правою рівномірною структурою на , оскільки для кожного елемента , праве множення є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структура. Також можна ввести ліву рівномірну структуру на ; вони можуть не співпадати але породжують однакову топологію на .
  • Для кожної топологічної групи і її підгрупи множина лівих класів суміжності є рівномірним простором щодо рівномірної структури фундаментальну систему оточень якої утворюють множини , де пробігає всі околи одиниці в . Породжена топологія на при цьому є еквівалентною фактортопології відображення .

Топологія породжена рівномірною структурою[ред. | ред. код]

Будь-яка рівномірна структура на множині породжує топологію. Її системою околів є .

  • є непустою оскільки сім'я оточень є непустою. належить всім множинам із , оскільки кожне оточення містить діагональ.
  • Довільна множина, що містить елемент теж є елементом оскільки довільна множина, що містить оточення теж є оточенням.
  • Усі елементи у містять множину з таку що є околом усіх точок мнодини  :
    Припустимо, що для деякого оточення і , для оточення для якого . Тоді :
    • оскільки (те що є підмножиною випливає з того, що містить діагональ) ;
    • для всіх і всіх , для  : тому, містить і тому .
  • Перетин двох елементів є елементом оскільки перетин двох оточень є оточенням.

Топологія з цією системою околів називається топологією породженою рівномірною структурою .

Якщо топологія породжується рівномірною структурою то вона є цілком регулярною (не обов'язково гаусдорфовою). Особливе значення має випадок коли ця топологія є гаусдорфовою. У термінах оточень еквівалентною умовою є коли перетин всіх оточень є рівним діагоналі множини. У термінах систем рівномірних покриттів еквівалентною умовою є те, що для довільних двох точок множини існує рівномірне покриття жодна множина якого не містить одночасно дві ці точки. Якщо топологія породжується рівномірною структурою то насправді всі ці умови випливають з того, що дана топологія є -топологією. Рівномірна структура для якої справедливими є всі ці еквівалентні властивості називається віддільною.

Навпаки будь-яка цілком регулярна гаусдорфова топологія на породжується деякою віддільною рівномірною структурою.

Як правило, існує багато різних рівномірних структур, що породжують однакову топологію на . Зокрема, метризовна топологія може породжуватися неметризовною віддільною рівномірною структурою.

Топологія компактного гаусдорфового простору завжди породжується рівномірною структурою. Ця структура є єдиною і є рівною системі околів простору .

Рівномірна неперервність[ред. | ред. код]

Відображення рівномірного простору в рівномірний простір називається рівномірно неперервним, якщо для будь-якого рівномірного покриття простору система є рівномірним покриттям . Еквівалентно, якщо прообраз будь-якого оточення в є оточенням в .

Будь-яке рівномірно неперервне відображення є неперервним відносно топології, породженої рівномірними структурами на і . Будь-яке неперервне відображення із компактного гаусдорфового простору (який має єдину неперервну структуру, що узгоджується з топологією) у рівномірний простір є рівномірно неперервним.

Якщо рівномірні структури на і породжуються метриками, то рівномірно неперервне відображення є рівномірно неперервним в класичному сенсі як відображення метричних просторів.

Нехай — підмножина рівномірного простору . Система оточень визначає рівномірну структуру на . Пара називається підпростором рівномірного простору . Відображення рівномірного простору в рівномірний простір називається рівномірним вкладенням, якщо є ін'єктивним, рівномірно неперервним і обернене відображення також є рівномірно неперервним.

Повнота[ред. | ред. код]

Рівномірний простір називається повним, якщо будь-який фільтр Коші в (тобто такий фільтр, що для кожного оточення існує множина , така що для всіх ) має границю. Метризовний рівномірний простір є повним тоді і тільки тоді, коли метрика, що породжує його рівномірну структуру є повною. Будь-яке рівномірно неперервне відображення із щільної підмножини рівномірного простору у повний рівномірний простір може бути продовжене до рівномірного відображення на усьому просторі.

Будь-який рівномірний простір може бути рівномірно вкладений як всюди щільна підмножина в єдиний (з точністю до рівномірного ізоморфізму) повний рівномірний гаусдорфів простір , який називається поповненням і для якого існує вкладення , таке що для будь якого рівномірного відображення між рівномірними просторами існує єдине рівномірне відображення , таке що .

Топологія поповнення рівномірного простору є компактною тоді і тільки тоді, коли неперервна структура є цілком обмеженою рівномірною структурою (тобто для будь-якого рівномірного покриття існує скінченне рівномірне покриття, що є меншим щодо зірчастого порядку). В цьому випадку поповнення є компактифікацією простору і називається розширенням Самюеля простору щодо рівномірної структури . Для будь-якої компактифікації простору існує єдина цілком обмежена рівномірна структура на , розширення Самюеля щодо якої збігається з .

Література[ред. | ред. код]

  • Бурбаки Н. Элементы математики. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968 (рос.)
  • Isbell, John R. (1964). Uniform Spaces. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1512-1. 
  • James, I. M. (1990). Introduction to Uniform Spaces. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-38620-9. 
  • James, I. M. (1987). Topological and Uniform Spaces. Undergraduate texts in mathematics. Springer. ISBN 0387964665. 
  • André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937