Рівностепенева неперервність

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівностепенева неперервність — властивість сім'ї неперервних функцій, яка полягає в тому, що всі функції змінюються однаково в межах заданого околу.

Означення[ред.ред. код]

Рівностепенева неперервність і рівномірна рівностепенева неперервність[ред.ред. код]

Нехай

деяка сім'я неперервних функцій, де  — деяка підмножина дійсної осі,  — множина індексів.

Множина функцій  — рівностепенево неперервна в точці , якщо

Множина функцій  — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з . Іншими словами, для довільного знайдеться таке , яке залежить від та , що для довільних таких, що випливає, що нерівність виконується одночасно для всіх функцій з .


Множина функцій  — рівномірно рівностепенево неперервна, якщо

Іншими словами, для довільного знайдеться таке , яке залежить тільки від , що для довільних таких, що випливає, що нерівність виконується одночасно для всіх функцій з .


Різниця між рівностепеневою неперервністью і рівномірною рівностепеневою неперервністю в тому, що у першому випадку вибір залежить і від , і від . У випадку рівномірної рівностепенової неперервності залежить тільки від . Часто коли говорять про рівностепеневу неперервність, то під нею розуміють рівномірну рівностепеневу неперервність.

Метричний простір[ред.ред. код]

Наведені означення безпосередньо переносяться на випадок метричних просторів [1]

Нехай ,  — метричні простори і  — множина всіх неперервних відображень з в .

Підмножина відображень  — рівностепенево неперервна в точці , якщо

Множина  — рівностепенево неперервна, якщо вона рівностепенево неперервна в кожній точці з .

Підмножина відображень називається рівномірно рівностепенево неперервною, якщо

Більш загально, якщо  — топологічний простір, то множина відображень з в називається рівностепенево неперервною в точці , якщо

де позначає деякий окіл точки .

Властивості[ред.ред. код]

  • Якщо  — компактний простір, то множина функцій рівномірно рівностепенево неперервна тоді і тільки тоді, коли вона рівностепенево неперервна.
  • Кожна з функцій рівномірно рівностепеневої множини функцій рівномірно неперервна.
  • Будь-яка скінченна множина рівномірно неперервних функцій рівномірно рівностепенево неперервна.
  • Нехай  — рівностепенево неперервна сім'я функцій і поточково для довільного , тоді  — неперервна [2].
  • Нехай  — рівностепенево неперервна сім'я функцій з в повний метричний простір і для всіх з деякої щільної в підмножини, тоді для всіх .
  • Нехай  — компактний простір і  — рівномірно рівностепенево неперервна сім'я функцій і поточково для довільного , тоді рівномірно.
  • Згідно узагальненої теореми Арцела якщо  — компактні простори, то підмножина компактна в як метричному просторі наділеному рівномірною метрикою тоді і тільки тоді, коли рівностепенево неперервна.

Приклади[ред.ред. код]

  • Послідовність функцій з однаковою константою Ліпшица утворюють (рівномірно) рівностепеневу множину функцій. В частковому випадку такою є множина функцій похідні яких є рівномірно обмеженими.
  • Нехай  — неперервна на функція. Розглянемо відображення , яке задається формулою

Тоді множина рівностепенево неперервна [3].

Узагальнення[ред.ред. код]

Рівностепенева неперервність узагальнюється для відображень між топологічними просторами, які наділені так званою рівномірною структурою (у топологічному просторі вводиться спеціальна топологія — сім'я підмножин з декартового добутку наділена певними властивостями).

Див. також[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 42-43.
  2. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 43.
  3. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1977. — С. 49.

Література[ред.ред. код]

  • Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.1. Функциональный анализ. — Москва : Мир, 1977. — 355 с.