Рівносторонній многокутник

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
Рівносторонній трикутник, завжди є правильним трикутником
Рівносторонній чотирикутник (ромб)

Рівносторонній многокутник — многокутник, у якого всі сторони рівні. Наприклад, рівносторонній трикутник — це трикутник, у якого всі три сторони однакові; всі рівносторонні трикутники подібні і мають внутрішні кути 60 градусів. Рівносторонній чотирикутник — це ромб і квадрат, який є частковим випадком ромба.

Властивості[ред. | ред. код]

Рівносторонній многокутник, який також і рівнокутний є правильним многокутником.

Рівносторонній многокутник, уписаний в коло (його вершини лежать на колі) є правильним многокутником (тобто многокутником, одночасно і рівностороннім, і рівнокутним).

Описаний многокутник (у якого існує коло, що дотикається всіх його сторін) є рівностороннім в тому і тільки в тому випадку, коли кути через один рівні (тобто, при послідовній нумерації кутів кути з номерами 1, 3, 5, … рівні і кути 2, 4, … рівні). Таким чином, якщо  — непарне, описаний многокутник є рівностороннім тоді й лише тоді, коли він правильний[1].

Всі рівносторонні чотирикутники опуклі рівносторонні п'ятикутники, як і опуклі рівносторонні многокутники з більшим числом сторін.

Кожна головна діагональ шестикутника ділить його на чотирикутники. В будь-якому опуклому рівносторонньому шестикутнику із спільною стороною існує[2] головна діагональ , така що:

,

і головна діагональ , така, що:

.

Існує скінченна послідовність елементарних відбиттів, які переводять будь-який рівносторонній многокутник у правильний[3][4].

Теорема Вівіані[ред. | ред. код]

Докладніше: Теорема Вівіані

Теорема Вівіані в частині сталості суми відстаней від довільної внутрішньої точки до кожної із сторін узагальнюється для рівносторонніх многокутників[5]. Дійсно, якщо подати сторони многокутника у вигляді векторів , при тому вибравши напрямки так, щоб кінець одного вектора був початком іншого, то сума цих векторів дорівнює нулю, а отже:

, .

Без применшення загальності можна вважати, що всі довжини векторів дорівнюють 1. Повернувши всі вектори на 90° в одному напрямку, отримаємо вектори , і всі вони будуть нормалями до сторін. Рівняння прямої, що проходить через сторону буде задаватися рівнянням . Оскільки довжина вектора дорівнює одиниці, відстань до прямої від будь-якої точки площини дорівнює (відстань може бути від'ємною — залежить від того, в якій півплощині лежить точка), а сума відстаней дорівнює , тобто, не залежить від положення точки.

Площа і периметр рівносторонніх многокутників[ред. | ред. код]

  • Якщо непарне, то правильний -кутник одиничного діаметра дає найбільшу можливу площу і периметр[6].
  • Правильний -кутник є єдиним розв'язком задачі знаходження найбільшої площі фігури одиничного діаметра, якщо непарне, але в задачі знаходження найбільшого периметра за непарного розв'язок єдиний тільки для простих .
  • Якщо парне і , то правильний -кутник одиничного діаметра не дає ні найбільшої площі, ні найбільшого периметра.
  • Якщо має непарний дільник, то будь-який многокутник з найбільшим периметром є рівностороннім.

Див. також[ред. | ред. код]

Примітки[ред. | ред. код]

  1. Michael De Villiers. Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вип. 95 (1 березня). — С. 102-107.
  2. Inequalities proposed in «Crux Mathematicorum», [1]. p.184,#286.3
  3. Godfried Toussaint. The Erds–Nagy theorem and its ramifications // Computational Geometry. — 2005. — Вип. 31 (16 серпня). — С. 219-236.
  4. Kenneth C. Millett. Knotting of regular polygons in 3-space // Journal of Knot Theory and Its Ramifications. — 1994. — Т. 3, вип. 3 (16 серпня). — С. 263-278.
  5. Elias Abboud. On Viviani’s Theorem and its Extensions // College Mathematics Journal. — 2022. — Т. 43 (3) (16 березня).
  6. Michael J. Mossinghoff. An Isodiametric Problem for Equilateral Polygons // Contemporary Mathematics. — 2008. — Т. 457, (16 серпня).

Посилання[ред. | ред. код]