Рівняння Больцмана

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Больцмана або кінетичне рівняння Больцмана — рівняння, що описує еволюцію розподілу частинок нерівноважної термодинамічної системи в просторі координат та за швидкостями.

Людвіг Больцман запропонував це рівняння для опису нерівноважних газів, але воно стало широко вживатися й для електронного газу твердих тіл, оскільки дозволяє легко врахувати особливості квантової статистики Фермі — Дірака. Для просторово неоднорідної системи рівняння Больцмана дозволяє розраховувати процеси дифузії частинок. Для системи у зовнішних полях рівняння Больцмана дозволяє визначити баланс між прискоренням частинок полями й дисипацією їхньої енергії під час зіткнень.

Формулювання[ред.ред. код]

Для опису нерівноважної термодинамічної системи вводиться залежна від часу t, просторових координат й швидкості частинок функція розподілу , яка задає ймовірність того, що частинка в момент часу t матиме перебуватиме в кубі з вершиною в точці і стороною , а її швидкість буде в діапазоні від до . Для цієї функції справедливе рівняння:

,

де m — маса частинок,  — сума зовнішних сил, які діють на ці частинки.

Зміна функції розподілу, тобто ймовірності того, що частинка перебуватиме в околі певної точки й матиме певну швидкість, відбувається:

  • завдяки вильоту частинки із об'єму;
  • завдяки прискоренню чи сповільненню, викликаному дією зовнішніх сил;
  • завдяки зіткненню із іншими частинками.

Член в правій частині рівняння Больцмана описує зміну функції розподілу при зіткненнях і називається інтергралом зіткнень. При цьому детальна механіка розсіювання частинок не розглядається. Вважається, що при розсіюванні частинки миттєво міняють свої швидкості.

Рівняння Больцмана справедливе для полів, які не дуже швидко міняються в просторі. Вважається, що кожен елементрарний об'ємчик досить великий, щоб для нього можна було ввести функцію розподілу, але малий в порівнянні із характерною довжиною зміни зовнішних полів.

Рівняння Больцмана нехтує узгодженим рухом частинок. Його справедливість обмежена газами, в яких зіткнення відбуваються не дуже часто. В випадку більших густин частинок застосовуються складніші рівняння, наприклад рівняння ББГКІ.

Інтеграл зіткнень[ред.ред. код]

Зіткнення між частинками призводить до зміни їхніх швидкостей. Якщо задає імовірність розсіювання частинки із стану зі швидкістю у стан зі швидкістю , то інтеграл зіткнень для класичних частинок записується у вигляді: .

У випадку квантового характеру статистики частинок цей вираз ускладнюється неможливістю двох частинок перебувати в стані з однаковими квантовими числами, а тому потрібно враховувати неможливість розсіювання в зайняті стани.

Детальніші відомості з цієї теми Ви можете знайти в статті Інтеграл зіткнень.

.

Наближення часу релаксації (τ-наближення)[ред.ред. код]

Рівняння Больцмана — складне інтегродиференціальне рівняння в часткових похідних. Окрім того, інтеграл зіткнень залежить від контретної системи, від типу взаємодії між частинками та інших факторів. Знаходження загальних характеристик нерівноважних процесів — непроста справа.

Однак, відомо, що в стані термодинамічної рівноваги інтеграл зіткнень дорівнює нулю. Справді, в стані рівноваги в однорідній системі при відсутності зовнішніх полів усі похідні в лівій частині рівняння Больцмана дорівнюють нулю, тож інтеграл зіткнень теж повинен дорівнювати нулю.

При малих відхиленнях від рівноваги функцію розподілу можна подати у вигляді

,

де  — рівноважна функція розподілу, що залежить лише від швидкостей частинок і відома з термодинаміки, а  — невелике відхилення.

В цьому випадку можна розкласти інтеграл зіткнень у ряд Тейлора відносно функції , і записати його у вигляді:

,

де τ — час релаксації. Таке наближення називається наближенням часу релаксації (або τ-наближенням).

Час релаксації, який входить у рівняння Больцмана залежить від швидкості частинок, а отже енергії. Час релаксації можна розрахувати для конкретної системи із конкретним процесами розсіювання частинок.

Рівнянн Больцмана в наближенні часу релаксації записується у вигляді

.

Застосування[ред.ред. код]

Рівняння Больцмана застосовують для опису плазми, в теорії твердого тіла тощо, всюди, де вивчаються транспортні явища: електропровідність, термоелектричні явища, дифузія, ефект Хола та ін.

Джерела[ред.ред. код]

  • Ансельм А.И. (1978). Введение в теорию полупроводников (російська). Москва: Наука. 
Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.