Рівняння Гельмгольца

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Рівняння Гельмгольца - диференціальне рівняння з частинними похідними еліптичного типу, що має вигляд:

,

де - невідома функція, - оператор Лапласа, k - параметр.

Зв'язок із хвильовим рівнянням[ред.ред. код]

Рівняння Гельмгольца є наслідком хвильового рівняння:

,

якщо його розв'язок шукати у вигляді:

.

При цьому

.

Розв'язки[ред.ред. код]

Для знаходження конкретних розв'язків рівняння Гельмгольца для конкретної задачі математичної фізики потрібно доповнити граничними умовами.

Для безмежного тривимірного простору розв'язки можна записати у вигляді плоских хвиль:

,

де .

Для двовимірної задачі в полярній системі координат розв'язок зручно шукати у вигляді суперпозиції функцій Бесселя:

.

Для тривимірного простору в сферичній системі координат розв'язки мають вигляд суперпозиції сферичних гармонік, помножених на сферичні функції Бесселя:

.